Людвиг Больцман – человек и формула

Больше, чем могила Людвига ван Бетховена, на Центральном кладбище Вены меня интересовала расположенная неподалёку могила Людвига Больцмана. Надгробие украшает знаменитая формула S = k. log W и памятник человеку, её придумавшему:


Но многие ли посетители Центрального кладбища понимают, что эта формула означает? Понимают ли они, за какие заслуги Людвиг Больцман удостоился чести быть похороненным рядом с великими композиторами и федеральными канцлерами? Кто все эти люди, похороненные вместе с ним? И не являемся ли мы всего лишь больцмановскими мозгами? Я не стал спрашивать чат, а по-старинке обратился к Википедии.

Наш герой родился в Вене в 1844 году в семье акцизного чиновника. Учился в Венском университете у Йозефа Лошмидта и Йозефа Стефана. В 22 года Больцман получил докторскую степень за работу «О механическом значении второго закона механической теории теплоты». В дворике главного здания Венского университета на Рингштрассе, где выставлены бюсты знаменитых преподавателей и выпускников, Больцману поручена ответственная роль сторожить бутылки с минералкой и лимонадами. Потому что холодильник, как предположил мой брат, имеет прямое отношение к термодинамике:


А рядом из квазиниши в стене выглядывает учитель и друг Больцмана, не менее бородатый доктор Иоганн Йозеф Лошмидт (1821–1895):


Их связывает уравнение N_L = p₀/k_BT₀. Физически подкованные читатели вспомнят постоянную Лошмидта – «число специфированных структурных единиц (атомов, молекул, ионов, электронов или любых других частиц) в 1 м³ вещества в состоянии идеального газа при нормальных условиях: давлении в 1 атмосферу (101 325 Па) и температуре 0 °C (273,15 К)». N_L = 2,69 × 10²⁵ м^–3. То есть в кубометре воздуха зимой в Питере кружится 27 септиллионов молекул с поправкой на неидеальность. А уравнение состояния идеального газа связывает постоянную Лошмидта с куда более известной и фундаментальной постоянной Больцмана k_B = 1,38 × 10⁻²³ Дж/К.

Юный Больцман вычитал у Максвелла, что температура газов вызывается движением и столкновением молекул. Чем шустрее летят молекулы, тем газ горячее. Для частиц одноатомного идеального газа, обладающих только тремя степенями свободы поступательного движения, кинетическая энергия mv²/2 равна 3kT/2. Отсюда среднеквадратичная скорость молекул v = √(3kT/m). Вам давали в школе для запоминания выражения под корнем «три ка-тэ на массу» мнемоническую формулу «три кота на мясо»? Вот это самое «ка» и есть постоянная Больцмана.


Если бы механический взгляд на температуру победил в быту, то я бы писал, что на улице сейчас температура не 95 градусов Фаренгейта, а 6,4 килоджоуля на моль или 476 метров в секунду (ну, или у американцев оставались 1562 фута в секунду) – средняя энергия и скорость молекул воздуха.

В 1869 году двадцатипятилетний Людвиг Больцман хабилитировался и стал профессором математической физики в Граце. А ещё через три года он повстречал студентку педагогического колледжа Генриетту фон Айгентлер. Она была сиротой и хотела стать учительницей физики и математики, но для этого ей необходимо было посещать лекции в Грацском университете. К сожалению, женщинам в то время не разрешалось учиться в университете. Один профессор посоветовал ей лучше научиться готовить: в жизни больше пригодится, чем математика с физикой. Генриетта обратилась к Больцману за советом и поддержкой, и они сумели убедить министерство образования, чтобы Генриетте разрешили стать слушательницей университетской курсов по математике, естественным наукам и философии, единственной женщине в Австро-Венгерской империи.


Больцман же вернулся в Вену, где получил должность профессора математики. Тщательно подсчитав свои доходы и расходы, Людвиг решился сделать Генриетте письменное предложение о свадьбе. И она его приняла, тоже письменно. К этому моменту закончился семестр, и для продолжения обучения от Генриетты потребовали подавать новую петицию в министерство. Она решила, что её знания больше пригодятся в роли профессорской жены. Как сформулировал Людвиг: «Мне кажется, что постоянная любовь не может длиться долго, если жена не понимает и не воодушевляется усилиями своего мужа, а является всего лишь его экономкой, а не товарищем, сражающимся на его стороне». 17 июля 1876 года они поженились:


Это время было самым плодотворным в научной работе Больцмана. Стремясь строго вывести второе начало термодинамики из механики, в 1872 году он доказал H-теорему – математический закон, по которому энтропия изолированной системы может только возрастать. Но Лошмидт возразил, что такой вывод противоречит обратимости ньютоновской механики по времени. Пусть система эволюционирует во времени из t₀ в t₁ с увеличением энтропии. Так как мы случайно выбираем начальные условия в фазовом пространстве, то должно быть равновероятно выбрать такую систему, в которой в момент времени t₁ скорости всех молекул поменяются на обратные. Тогда система должна эволюционировать из этого состояния в обратном направлении с ожидаемым уменьшением энтропии. Экспериментально мы наблюдаем, как обратимость законов механики по времени, так и выполнение второго начала термодинамики (теплота не может переходить сама собой от холодного тела к горячему), и их кажущаяся несовместимость получила название парадокса Лошмидта.

Больцман глубоко задумался. Физики найдут объяснение парадоксу Лошмидта только в конце 19 века: ключевое предположение в расчётах Больцмана о молекулярном хаосе, что все молекулы движутся хаотично и независимо друг от друга, неявно вносит элемент временной асимметрии, задаёт стрелу времени. После взаимных столкновений скорости молекул уже не являются независимыми и некоррелирующими. Но Больцман додумался до другого вывода: второе начало термодинамики не является строгим математическим законом, а оказывается результатом статистических процессов. Мы не наблюдаем переход тепла от холодного тела к горячему не потому, что это запрещено, а потому, что это очень маловероятно.

Можно встретить утверждение, что главный научный вклад Больцмана – нахождение связи между термодинамической и статистической энтропией. И здесь на сцену выходит формула с надгробного камня “S = k. log W”. Чем оно так замечательно? Что здесь означает каждая буква?


S – это энтропия. Физики давно подозревали о существовании термодинамической функции, которая численно характеризовала бы необратимое рассеивание энергии в неидеальных процессах. В 1865 году немецкий физик Рудольф Клаузиус назвал её энтропией (от греческого слова, означающего «превращение»), и так как буква E уже использовалась для энергии, он обозначил энтропию буквой S. Почему S? Никто не знает. То ли это Summe, то ли Statusfunktion, то ли Sadi [Carnot], то ли просто случайная буква латинского алфавита. Клаузиус сформулировал сразу два закона термодинамики фразой: «Энергия мира постоянна, энтропия стремится к максимуму».


Что такое энтропия? Сколько физиков вы спросите, столько объяснений получите. Википедия знает много разных энтропий и предупреждает, что понятие это неинтуитивное. Я сдавал в университете термодинамику, статистическую термодинамику и два курса физической химии. Для меня энтропия останется в первую очередь величиной ∆S в формуле для расчёта свободой энергии Гиббса: ∆G = ∆H – T∆S.

“k.” в могильной формуле – уже знакомая нам постоянная Больцмана. (Её чаще пишут как k_B или просто k). Так назвал этот коэффициент пропорциональности и записал впервые формулу в таком виде Макс Планк, интерпретируя работы Больцмана. То есть энтропия S пропорциональна чему? Что такое “log W”?

После определения «энтропия термодинамической системы пропорциональна натуральному логарифму от числа различных микросостояний W, соответствующих данному макроскопическому состоянию» приходится в свою очередь определять, что такое микросостояния. Обычно прибегают к всем понятным монеткам, игральным костям и картам. Допустим, у вас есть сто монет. После случайного подкидывания каждой из них макросостоянию «100 орлов» соответствует только одно микросостояние: когда все монеты выпадут орлом кверху – очень маловероятно. А вот макросостояниям «50 орлов» или «49 орлов» будут соответствовать очень многие микросостояния: они более вероятны и соответствующая им энтропия выше, чем, например, у состояния «27 орлов». Поэтому начав из состояния «27 орлов», энтропия при последующих подбрасываниях монет будет возрастать, пока не устаканится возле макросостояния «50 орлов», обладающего максимальной вероятностью и максимальной энтропией.


Это всё замечательно, но какое отношение микросостояния «орёл–решка» имеют к частицам газа, которые могут принимать любые непрерывные значения положения и скорости (момента импульса)? Неужели в 1870-е годы Больцман изобрёл кванты? Почти. Поэтому Планк так вдохновился его работами. Больцман разбил многомерное пространство положений и импульсов на дискретные диапазоны, но лишь как математический приём. А обозначение W взялось от немецкого слова Wahrscheinlichkeit («вероятность»).

Так всё-таки под логарифмом число микросостояний (кратность) или вероятность системы оказаться в данном макросостоянии? И откуда вообще взялся логарифм? Чтобы из мультипликативных вероятностей получалась аддитивная энтропия? Чтобы было проще посчитать произведение факториалов? Чтобы по третьему началу термодинамики при температуре абсолютного нуля, когда возможно только одно основное микросостояние, энтропия была равна нулю: S = k ln W = k ln 1 = k × 0 = 0? Если бы я месяц читал статьи Больцмана про Permutabilitätsmass, я бы разобрался. Но я бы не придумал, как написать о моих находках, чтобы они были интересны вам. Поэтому я решил, что я не физик, а турист. Как однажды признался Джеймс Максвелл: «Изучая Больцмана, я не смог его понять. Он не смог понять меня из-за моей краткости, а для меня таким же камнем преткновения были и остаются его длинноты».


Тем временем свежеиспечённая микроячейка общества, чета Больцманов, снова переместилась в Грац. Стараниями Генриетты Больцман её муж возглавил кафедру теоретической физики в Грацском университете. На ту же позицию претендовал Эрнст Мах из Карлова университета, но Генриетта убедила профессоров, что Людвиг Больцман не только умнее, но и страдает от слабого здоровья, и ему будет полезен горный климат. Для Больцмана она стала тем самым соратником, о котором он мечтал. Читала ему статьи, чтобы беречь его зрение, научилась готовить (а поесть Больцман любил) и родила ему пятерых детей: Людвига Хьюго (1878), Генриетту (1880), Артура Людвига (1881), Иду (1884) и Эльзу (1891).


«Пара вела светскую жизнь, часто посещала театры, организовывала пикники в окрестностях Граца». Больцман писал стихи, играл на фортепиано (в школьные годы в Линце его учителем был сам Антон Брукнер) и аккомпанировал своему сыну Артуру, который играл на скрипке. Рассказывают анекдот, что однажды Больцман решил, что его детям нужно свежее молоко. Он отправился за город, где купил у фермера корову. Профессор сам провёл её по улицам Граца к себе домой. Он знал, что молоко получают из коров, но так как он был теоретик, то не знал как. Истинный академик за консультацией он отправился не к молочнику, а к профессору зоологии.

На самом деле в карьере Больцмана есть и экспериментальные работы. Он аккуратно измерил диэлектрическую проницаемость и показатели преломления серы, парафина и разных газов, и найдя, что n = √ε, подтвердил максвелловскую связь между электромагнитизмом и светом. В Граце у него учились и стажировались Сванте Аррениус и Вальтер Нернст, будущие лауреаты Нобелевской премии. В 1884 году Больцман теоретически обосновал наблюдение своего венского руководителя Стефана, что плотность излучения абсолютно чёрного тела пропорциональна четвёртой степени его температуры: j* = σT⁴. Этот закон теперь носит название Стефана–Больцмана, а σ – постоянная Стефана–Больцмана – равна 5,67 × 10⁻⁸ Вт / (м² × К⁴). С его помощью впервые было получено разумное значение для температуры Солнца в 5700 К.

Постепенно Больцман всё больше смещался из физики в философию. В то время физиков пугали «тепловой смертью Вселенной». Второе начало термодинамики предсказывало, что энтропия изолированной системы может только расти. Локально уменьшиться энтропия могла только за счёт большего увеличения энтропии во внешней среде. Чтобы у меня работал компьютер и кондиционер, где-то в Юте должны жечь уголь, увеличивая общую энтропию системы «дом – электростанция». В 1852 году Томсон (барон Кельвин) пришёл к выводу, что рано или поздно Земля рассеет всю «полезную энергию» и окажется в непригодном для жизни человека состоянии. В 1865 году Клаузиус распространил этот принцип на всю Вселенную. Энтропия будет расти и расти, пока не достигнет максимального значения в состоянии термодинамического равновесия. А жизнь есть что угодно, только не равновесие.

Статистический подход Больцмана позволил по-новому взглянуть на проблему тепловой смерти Вселенной. Если второе начало термодинамики имеет не строгую механическую, а статистическую природу, то даже в состоянии изотермического равновесия за счёт хаотического движения молекул они могут случайно сложиться в организованные структуры: энтропия локально понизится относительно максимума. Можно провести аналогию с тасовкой колоды карт. Вначале она находится в упорядоченном состоянии с минимальной энтропией (карточный Большой взрыв). По мере перетасовки колода переходит в беспорядочное состояние с высокой энтропией, но отдельные карты могут снова случайно выстроиться упорядоченно. Если тасовать очень-очень долго, то с очень-очень маленькой вероятностью колода может даже вернуться в первоначальное состояние.

Эта идея Больцмана позволила задать вопрос: не является ли наблюдаемая нами Вселенная всего лишь тепловой флуктуацией ещё более большой «мёртвой» Вселенной, находящейся в состоянии термодинамического равновесия? Но чем меньше флуктуация, тем она вероятнее. То, что элементарные частицы случайно соберутся в галактику менее вероятно, чем то, что они соберутся в планету, а в планету менее вероятно, чем в человека. Получается, теория Больцмана разрешает случайное образование разумного наблюдателя из вакуума. Вероятность события мала, но в бесконечно большой вселенной за бесконечно большое время должно возникнуть бесконечно много таких флуктуационных наблюдателей (с кажущейся им памятью о прошлых событиях), которые получили название «больцмановских мозгов». И теперь вопрос на миллиард: мы зародились в процессе физической эволюции изначального низкоэнтропийного состояния или являемся больцмановскими мозгами, флуктуационно возникшими из «мирового вакуума»? Современные учёные склоняются к первому варианту, но доказать его математически не могут. Как резюмирует Википедия: «Период существования Вселенной, когда в ней может существовать жизнь в виде “нормальных” наблюдателей, конечен; в состоянии же де-ситтеровского вакуума Вселенная будет пребывать вечно. Почему же мы тогда обнаруживаем себя в виде “нормальных” наблюдателей, возникших в ходе эволюции, а не в виде больцмановских мозгов в де-ситтеровском вакууме?»


В общем, неудивительно, что у реального Больцмана мозг тоже поплыл. Он оказался втянут в философские и внутриакадемические административные споры с коллегами. Несмотря на членство в международных академиях, он считал, что его работы не ценят, не понимают и недостаточно признают. Семейство Больцманов покинуло Грац. Он думал перебраться в Берлин, но не срослось. Несколько лет проработал в Мюнхене. В 1894 году снова оказался в Вене профессором теоретической физики. Там главным критиком идей Больцмана выступил профессор философии Эрнст Мах (1838–1916). Мах отрицал существование атомов, считал их математической фикцией, чем-то на уровне демона Максвелла. А потому все парадоксальные выводы из работ Больцмана списывал на то, что из несуществующих атомов можно вывести всё что угодно. Сам Мах не был чистым философом, но в физике он предпочитал заниматься сущностями, которые можно наблюдать напрямую. Не это ли отличает настоящую науку от религии и балабольства? Областью его интересов была оптика, акустика и аэродинамические процессы: сверхзвуковое движение тел и возникающая при этом ударная волна. В его честь названо число Маха — отношение скорости потока к скорости распространения звука в движущейся среде. Мы видели памятник Маху перед Венской ратушей:


Считается, что именно Мах выжил Больцмана из Венского университета, и тот в очередной раз переехал, на этот раз в Лейпциг по приглашению Вильгельма Оствальда. Но Оствальд тоже был анти-атомистом. Он считал, что для объяснения физических явлений не нужны никакие атомы, достаточно энергии.


К научным конфликтам у Больцмана добавились проблемы со здоровьем. У него развилась тяжёлая форма астмы, и до конца жизни от страдал от мучительных приступов боли. Его близорукость прогрессировала, и он, боясь совсем ослепнуть, всё больше стал заботиться не о науке, а о том, как выбить себе пенсию, чтобы содержать семью, если он станет недееспособным. Большим ударом для него была смерть старшего сына Людвига в возрасте 11 лет от недиагностированного аппендицита. Больцман винил себя, что не смог предотвратить эту трагедию. После очередного научного спора с Оствальдом Больцман предпринял неудавшуюся попытку самоубийства. Ему диагностировали неврастению и предписали находиться под постоянным медицинском наблюдением.

Тем временем Эрнст Мах ушёл на пенсию из-за своего плохого здоровья, и Венский университет предложил Больцману занять освободившееся место на кафедре натурфилософии. В 1902 году Людвиг Больцман возвратился в родной город и в свою альма-матер. Он работал в здании на Türkenstraße 3, в котором с 1875 по 1913 год размещался институт физики, а сейчас находится Café Afro. Мы подходили к нему, и я сфотографировал мемориальную табличку с именами. Больцман записан третьим с пометкой «Энтропия и вероятность»:


Лекции Больцмана по физике, и особенно по философии, пользовались популярностью, и публике часто приходилось стоять, так как в аудитории не хватало мест. Физики постоянно жаловались, что здание для института не подходит, и им нужен дом побольше. Среди студентов Больцмана этого периода выделяют Пауля Эренфеста и Лизу Мейтнер. В 1906 году Мейтнер станет второй женщиной, получившей докторскую степень по физике в Венском университете. Она внесёт важный вклад в теорию деления ядра, и в её честь 109-й элемент назовут мейтнерием. Лиза Мейтнер в 1906 году:


И памятник ей в дворике Венского университета:


Кстати, в гимназии она училась со старшей дочерью Больцманов Генриеттой, которая стала учительницей. О лекциях Больцмана у Мейтнер сохранились самые тёплые воспоминания: «После каждой лекции нам казалось, что мы познаём новый и удивительный мир — настолько он был увлечен своим предметом».


Летом 1905 года Больцман предпринял путешествие в далёкую Калифорнию, где прочитал 30 лекций на английском в рамках летней школы в Беркли. О своей поездке он оставил юмористическое эссе «Путешествие немецкого профессора в Эльдорадо», которое я с интересом прочитал. Мы даже жили с ним на одной улице с разницей в 107 лет («Клойн-Корт находился на Euclid Avenue и представлял собой точный параллелепипед без следов чего-либо неевклидова»).


Свой рассказ Больцман начинает с описания обеда в Вене перед дорогой: «В ресторане Северо-Западного вокзала я неспешно пообедал нежной жареной свининой с капустой и картофелем и выпил несколько бокалов пива. Моя память на цифры, в целом довольно точная, всегда меня подводит, когда я считаю пивные бокалы». Я помню о своём обещании написать о венской еде, но сегодня про Больцмана.

Ему, например, не понравилась американская еда. Миллионерша Фиби Хёрст, главный благодетель Калифорнийского университета в Беркли и спонсор поездки Больцмана, пригласила его в своё имение в Ливерморе. Вот как Больцман описывает обед: «Первым блюдом была ежевика. Я отказался. Затем подали дыню, которую моя хозяйка самым аппетитным образом посолила для меня собственными руками. Я снова отказался. Затем подали овсянку (oatmeal), неописуемое тесто, которым в Вене откармливают гусей, но возможно, и нет, так как сомневаюсь, что венские гуси захотят её есть. […] Вот в чём неприятность принимать приглашения в Америке. В отелях можно оставить то, что нельзя есть, но что делать, столкнувшись с хозяйкой, которая гордится высоким качеством американской кухни в целом и своей собственной в частности? К счастью, далее последовали птица, компот и другие блюда, которыми я смог заесть вкус овсянки».



Ещё два анекдота от Больцмана о той поездке я спрятал под спойлером.

«В Беркли царит полная трезвость: пить или продавать пиво и вино строго запрещено. Не желая умирать от жажды, я попробовал воду без льда – возможно, в Беркли она окажется полезнее, чем в Нью-Йорке и Сент-Луисе. К сожалению, нет! Мой желудок взбунтовался, и я рискнул спросить коллегу, где находится виноторговец. Он с тревогой огляделся вокруг, проверяя, не подслушивает ли кто-нибудь, прикинул, можно ли мне доверять, и в конце концов назвал отличный магазин калифорнийского вина в Окленде. Мне удалось пронести контрабандой целую батарею винных бутылок, и с тех пор дорога в Окленд стала для меня очень привычной. Мой желудок тоже сказал “аминь” и удивительно быстро поправился, хотя в остальном мой рацион остался неизменным. Мне всегда приходилось тайком выпивать бокал вина после еды, так что я сам почти чувствовал, что пристрастился к пороку. Умеренность уверенно движется к созданию нового вида лицемерия, которого и без того предостаточно в мире».

После того, как Больцман познакомился с экспериментами Жака Лёба по искусственному партеногенезу, в котором тому удалось перевести яйца морских ежей в стадию эмбрионального развития без участия сперматозоидов, он пошутил: «Если это верно не только для морских ежей, но и для высших форм жизни, даже для человека, какие социальные революции произойдут! Женская эмансипация, подобная той, о которой суфражистки сегодня даже не мечтали. Мужчины просто станут ненужными; их полностью заменит маленькая бутылочка, наполненная тщательно смешанными химикатами. Можно будет организовать наследственность на гораздо более рациональной основе, чем сейчас, когда она подвержена таким случайностям. Пройдёт совсем немного времени, прежде чем кто-то обнаружит, какая смесь производит мальчиков, а какая девочек, и поскольку первые будут совершенно не нужны, лишь несколько экземпляров будут выращиваться для зоопарков».

Но подобные периоды весёлости и энтузиазма чередовались у профессора Больцмана с приступами глубокой депрессии. Он сам шутил, что внезапные смены настроения – следствие того, что он родился в ночь между Масленицей и Пепельной средой (Великим постом). Это он ещё не знал о влиянии ретроградного Меркурия. Фрагмент картины Питера Брейгеля Старшего «Битва Масленицы и Поста», которую мы видели в Вене:


Перед началом осеннего семестра 1906 года жена уговорила Больцмана провести лето с ней и младшей дочерью Эльзой на Адриатическом море, в итальянской деревне Дуино, входившей тогда в состав Австро-Венгрии:


Отпуск подходил к концу. Через день Больцман должен был вернуться в Вену и начать читать лекции по теоретической физике, но его накрыла жуткая депрессия. Ничего не подозревающие жена с дочерью оставили его одного, но когда Эльза вернулась в гостиничный номер, она обнаружила, что её отец, великий физик Людвиг Больцман, повесился на оконном шнуре.

Больцман не оставил предсмертной записки, поэтому о причинах его самоубийства можно только гадать. Сразу пошли слухи, что до финальной точки его довели коллеги, не принимавшие его работ. Если это так, то ещё один урок, что нечего на дураков обижаться и принимать их слова близко к сердцу. Больцмана номинировали на Нобелевскую премию в 1903, 1905 и три раза в 1906 году. Проживи он чуть дольше, весьма вероятно он её получил бы. Ещё в 1905 году Эйнштейн дал теоретическое объяснение броуновского движения, как следствия движения отдельных молекул воды. Экспериментальная проверка этой теории Жаном Перреном в 1908 году окончательно подтвердила, что атомы существуют на самом деле, а не являются математическими абстракциями. В своём споре с Махом и Оствальдом Больцман оказался прав.

Самоубийство Больцмана объясняют навалившимися на него болезнями. Но из его отчёта о путешествии в Калифорнию пароходами-поездами за год до этого я бы никогда не предположил, что он стоит на грани самоубийства. Задним числом ему диагностируют биполярное расстройство: разве он не признавался сам, что то работает как маньяк, то скатывается в депрессию. Интересно, что сказал бы о смерти Больцмана венский врач Зигмунд Фрейд. Он начал свою учёбу в Венском университете в 1873 году, когда Людвиг Больцман был там профессором математики, но я не смог найти никаких сведений, что они вообще встречались. В дворике бюст Фрейда задвинут в такой дальний угол с памятниками астрономам фон Литровым, что он может завидовать бюсту Больцману возле холодильника:


Кто точно расстроился, так это студенты Венского университета Эрвин Шрёдингер и Людвиг Витгенштейн, которые собирались учиться у Больцмана физике и философии. Лекции по теоретической физике приостановили на 18 месяцев, пока их не поручили ученику Больцмана Фридриху Хазенёрлю (1874–1915), который станет научным руководителем Шрёдингера и погибнет на Первой мировой. Его бюст я не сфотографировал, поэтому покажу Шрёдингера с уравнением Шрёдингера и основателя института физики Кристиана Доплера, открывателя эффекта Доплера:


Изначально Людвиг Больцман был похоронен на Дёблингском кладбище рядом с домом, где он жил, но в 1929 году его останки с почётом перенесли на Центральное кладбище. А в 1933 году на могиле поставили бюст из белого мрамора работы глухого скульптора Густинуса Амбрози и выбили формулу для энтропии. На фотографиях и карикатурах Больцман намного более добрый и смешной: 


А памятник изображает его суровым титаном физической мысли. На изображении из Википедии 2005 года он покрыт многолетней копотью, и ещё нет шестого имени в левом верхнем углу, которое есть на заглавном фото поста:


Вместе с Больцманом похоронена его жена Генриетта, которая пережила мужа на 32 года (левый нижний угол: Henriette Boltzmann - geb. Edle von Aigentler, 1854–1938).

Их сын Артур Больцман, авиатор и метролог (справа в середине: Arthur Boltzmann - Dipl. Ing. Dr. Phil. Hofrat, 1881–1952).


Паула, жена Артура (верхний правый угол: Dr. Phil. Paula Boltzmann - geb. Chiari, 1891–1977).

Людвиг, сын Артура и Паулы, внук и последний потомок Больцмана по мужской линии, погибший в 1943 году под Смоленском (нижний правый угол: Ludwig Boltzmann 1923–1943, Letzter Männlicher Nachkomme. Gefallen bei Smolensk).

И, наконец, Ильзе, дочь Артура и Паулы, внучка Больцмана и хранитель его научного наследия (верхний левый угол: Ilse Fasol - geb. Boltzmann, 1927–2021).

***

Первоначально я хотел сделать общий пост с «научными» фотографиями из Вены и Праги – «По эйнштейно-шрёдингеровским местам». Начал с могилы Больцмана, собирался черкнуть пару фраз о формуле для энтропии, и, как часто со мной бывает, увлёкся. Захотелось самому глубже разобраться, что эта формула означает, рассказать о жизни и смерти Больцмана и о парадоксе больцмановского мозга, написать такой рассказ, чтобы читатель не пролистал фотку с ощущением «ещё один бородатый физик, ещё одна лохматая формула», а открыл для себя что-то новое.

Если бы я пил, то выпил бы в память любителя вина и хорошей еды Людвига Больцмана. Вместо этого закончу ещё одним философским анекдотом из его калифорнийского эссе:

«Один из моих попутчиков объяснил, что хозяйка наняла немецкого архитектора по имени Швайнфурт, который спроектировал это поместье, изучив все старые испанские здания в Мексике. Я заметил: “Должно быть, у него был очень хороший вкус”, на что мой попутчик ответил: “Да, и он умер из-за своего хорошего вкуса”. “Как это случилось?” – спросил я. Он ответил: “Калифорнийские вина показались ему столь вкусными, что он пил, пока не умер”. У этих калифорнийцев ужасное представление о своих, по общему признанию, очень крепких винах. В конце концов, всё не так уж и грустно. Когда-нибудь я тоже умру и перестану пить, а значит, тоже продолжу выпивать, пока не умру».

«Отчего небо голубое, а не зелёное?»

— задумался я. Быть может, вы читаете меня на Марсе или в Сиэтле, и небеса над вами вовсе не голубые, но у нас в Юте днём небо голубое, а на закате красно-оранжево-синее. И по всей физической логике оно должно пусть на короткое время, переходя по спектру от голубого к красному, становиться зелёным, чтобы я мог говорить брату: «Вот уж и небо позеленело, пора ужинать»:


Поиск ответа на этот «детский» вопрос перетряхнул все мои взгляды на оптику. Оказалось, что цвет неба никак не объяснить, если рисовать солнечные лучи как прямые или волнистые линии, которые при столкновении с препятствием или 1) пропускаются с преломлением, или 2) поглощаются, или 3) отражаются по принципу «угол падения равен углу отражения». Нужно ещё, чтобы лучи 4) рассеивались. Без рассеяния не понять не только цвет неба, но и то, почему мы, отражаясь в зеркале, не отражаемся в белом листе бумаги. И я осознал, что хоть мне ясно бытовое значение слова «рассеяние», но со своим PhD по химии я не могу объяснить, что происходит на молекулярном уровне: почему и когда лучи света решают разлететься во все стороны.

Спросите ChatGPT, почему небо голубое, и он ответит вам: «Белый свет от Солнца состоит из всех цветов спектра, но когда он проходит через атмосферу, световые волны рассеиваются молекулами воздуха. Это явление называется рассеянием Релея. Коротковолновые цвета, такие как синий и фиолетовый, рассеиваются сильнее, чем длинноволновые (например, красный и оранжевый)». Тут никак не обойтись без знаменитого комикса xkcd:


Когда привычное явление «объясняют» ничего не говорящим мне физическим термином, у меня тоже возникает только больше вопросов. Если хотеть отделаться от назойливого почемучки наукообразным ответом, то почему бы не сослаться на формулу Гэндальфа–Буняковского: Ц = Г / Б²? «Гэ» в числителе, поэтому цвет неба голубой. Я не термин хочу, мне понимание нужно. Каков механизм этого рассеяния с улицы Бассейной? Какая величина обратно пропорциональна четвёртой степени длины волны? Сам Релей? Он же Рэлей. Он же Рэйли. В общем, Rayleigh.

Слова про рэлеевское рассеяние обычно сопровождаются диаграммами такого типа. Стоит мужичок, или собачка, или кошечка, или гигантский глаз, и им в темя светит Солнце с большой буквы «эс»:


Если смотреть напрямую на Солнце (чего лучше не делать), оно покажется нам белым (а не жёлтым, даже не спорьте). Но если посмотреть в сторону от Солнца, то мы уже видим, как синяя часть солнечных лучей, которые никак не могли попасть нам в глаз напрямую, рассеиваются на кислородиках и азотиках атмосферы во все стороны, в том числе в нашу, создавая небесно-голубой цвет. А на Луне или на Тау Кита нет атмосферы, солнечным лучам не на чем рассеяться, вот тамошнее небо и видится чёрным, несмотря на то, что астронавты работают при дневном свете:


Далее следует диаграмма того, что происходит на закате, когда Солнце светит не в темя, а прямо в глаз. Солнечные лучи проходят больший путь сквозь атмосферу. Синяя составляющая успевает полностью рассеяться, а то, что остаётся, придаёт закатному небу огненную окраску. На рассвете происходит то же самое, но большинство популяризаторов и их читателей на рассвете ещё дрыхнут, поэтому в книжках обсуждается цвет закатного неба:


Так, геометрия явления мне понятна, но не физика. Самоуверенные заявления, что ответить, почему небо голубое, достаточно просто, вызывают у меня недоумение. Представьте себе: шли по пруду две волны, синяя и красная. А тут из воды торчит камень. Синяя волна накатилась на камень и разошлась вторичными волнами во все стороны, а красная побежала дальше. Не видал я такого. Все аналогии всего лишь аналогии.

А как объясняют цвет неба в школе? Да никак не объясняют. И правильно делают. А то скачал я книгу небезызвестного Я. И. Перельмана «Знаете ли Вы физику?», издание третье, переработанное и дополненное, Москва «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1992 год (1-е изд.— 1934 г.). И там как раз есть вопрос под номером 186-м: «Цвет неба. Почему небо днём голубое, а при закате Солнца — красное?»


Я уже потирал руки, что сейчас-то мне всё-всё доступно объяснят: Внимание, ответ на вопрос 186:


Разве это правильное и полное объяснение? Такое впечатление, что Перельман слышал звон, что волны «обтекают» препятствия, которые меньше длины волны и заключил, что длинноволновые красные (620–760 нм) лучи «обтекают» молекулы воздуха и прочие пылинки, а коротковолновые синие (450–480 нм) «обтечь» не могут и «отбрасываются» прямо нам в глаз. К началу 20 века уже было известно, что размер молекул кислорода или азота около 0,3 нм, то есть на три порядка меньше, чем длина видимых волн, и размер молекул сам по себе не может дифференцировать красные и синие волны. А рассеяние на сферических частицах, размер которых сопоставим с длиной волны, описывается теорией Густава Ми, и зависимость от длины волны там сложная. Облака, состоящие из капелек размером 1—100 мкм, выглядят белыми именно из-за рассеяния Ми (Mie scattering):


Вы возразите: «А что ты хотел увидеть книжке для детей? Уравнения Максвелла? Задача популяризатора – прославлять науку, а не пугать формулами. Перельман не только создаёт у читателей видимость понимания, но и снабжает их занимательными фактами на тот случай, если они пропустили вечерний прогноз погоды»:


Да я тоже не хочу никого грузить, а для себя разбираюсь. Для детей хватило бы и мифа, что небо голубое, потому мы живём под Твердью Небесной, которая состоит из множества светодиодов, как Сфера в Лас-Вегасе, и каждый день и ночь балует нас бесплатным метеорологическим шоу. В такое ныне мало, кто поверит, но думают же многие до сих пор, что небо синее, потому что молекулы кислорода синие. Википедия не соврёт, что жидкий кислород голубого цвета:


Но если бы мы жили под толщей голубого кислорода, само Солнце было синее, как если бы мы смотрели на него сквозь синее витражное стекло:


В конденсированном состоянии кислород голубой, потому что красные лучи поглощаются при переходе из основного триплетного в возбуждённое синглетное состояние (максимум поглощения при 630 нм). Но такой переход требует встречи двух молекул кислорода и фотона, иначе он запрещён по спину. А в газообразном состоянии атмосферы необходимая близость двух молекул кислорода столь маловероятна по сравнению с жидкой фазой, что даже толстый слой газообразного кислорода останется бесцветным. Другое дело озон, который поглощает не только ультрафиолетовые, но и жёлто-оранжевые лучи (максимумы поглощения при 575 и 603 нм). Будь озоновый слой Земли толще, он мог бы создавать эффект «синего витражного стекла»:


Но одно только поглощение не могло бы объяснить, почему мы видим небо голубым со всех сторон, даже там, где за ним нет прямого источника света, и почему на закате голубое небо вдруг становится красным.

Делать нечего, заглянул я в книги под названием “Classical Electrodynamics” и в восьмой том Ландау–Лифшица «Электродинамика сплошных сред». А там интегралы заборами стоят, частые производные, комплексные экспоненты и прочая нечисть. Ух, страшно! Как открыл, так и закрыл. У дедушки Перельмана было всё уютно и понятно: одни обтекают, другие отбрасываются. И я пошёл просить брата-программиста-математика помочь разобраться мне с цветом неба.

Мой брат с задумчивостью древнегреческого философа ответствовал: «Чтобы понять цвет неба, надо вначале понять, что такое цвет». Следующий вопрос, по-видимому, будет: «Что такое небо?» Пошёл я разбираться со цветом, который есть «субъективное психофизиологическое ощущение, которое для света с одной и той же спектральной характеристикой может быть разным у разных людей». Поэтому если вам небо кажется зелёным, то бессмысленно пытаться вас переубедить. Такая у вас субъективная психофизиологическая реакция:


Глаз и мозг прекрасно умеют подстраиваться под ожидания и искажать реальность. Известные оптические иллюзии основаны на нашем «догадывании» цветов. Клетки «А» и «В» одного и того же цвета, но мой мозг считает, что «А» намного темнее:


Если в графическом редакторе «пипеткой» выбрать оба цвета, кажется невероятным, что они оказываются одинакового тёмно-серого оттенка. Соединяешь их полосой этого цвета, и приходится признать, что глаз был рад обмануться, лишь бы достроить привычную чёрно-белую клетчатую доску:


Так что вопрос о природе цвета не такой уж праздный. В ответ я спросил брата: «А сколько в радуге цветов?» Он, не задумываясь, ответил, что 256. Аристотель считал, что три: красный, зелёный и синий. Ньютон, что семь, так как ему важно было, чтобы цвета в спектре соответствовали музыкальным нотам, для чего он разделил синюю полосу на blue и indigo, и мнемонической запоминалкой цветов в радуге на английском является бессмысленное Roy G. Biv. Сайты радостно сообщают, что в радуге «миллионы цветов». Но психологи считают, что шаг различия двух спектральных оттенков для человеческого глаза составляет 1 нм в сине-жёлтом диапазоне и около 10 нм в крайнем фиолетовом и красном:


Получается, что если от 450 нм до 650 нм — 200 цветов, и ещё сколько-то по краям, то мой брат ближе всех к правильному ответу. Представляю, какую поэму об охотнике и фазане пришлось бы заучивать, если бы Ньютон решил подогнать радугу под сакральное число 256:


Ещё пишут, что различие между синим и зелёным цветом возникло в языках довольно поздно, и например, во вьетнамском и цвет неба, и цвет листьев обозначается одним и тем же словом “xahn”, и надо уточнять, имеется в виду “xanh da trời” (цвет неба) или “xanh lá cây” (цвет листьев). Так что у вьетнамцев в каком-то смысле небо вполне себе зелёное. Но если подняться высоко в горы, небо становится такого тёмного цвета, что назвать его голубым уже не повернётся язык. Вот фото с вершины Эвереста:


Так что такое небо? Где оно кончается? Если «в космосе» небо чёрное, а на Земле голубое, то где та высота, где небо перестаёт быть хоть немного синим? На 50 км уже точно не синее, но я там не бывал, своими глазами не видел. Но даже если посмотреть с самолёта, летящего на высоте 10 км, вверх, небо покажется почти иссиня-чёрным:


Поэтому синева неба очевидно порождается атмосферой. Осталось разобраться, как именно. Но мой брат, получив ответы на вопросы «Что есть цвет?» и «Что есть небо?», заявил, что эта тема ему неинтересна, вот если бы меня волновало деление на ноль, он готов его обсуждать. К счастью, в процессе поисков я узнал о существовании отдельной книги на 300 страниц, посвящённой занимавшему меня вопросу: Götz Hoeppe, “Why the Sky Is Blue: Discovering the Color of Life”, 2007 год, перевод с немецкого. Скачать её нигде не удалось, поэтому я решил купить на Амазоне подержанный бумажный образец за $3.09 + $3.99 shipping + $0.21 tax. Через неделю «синяя книга», как я буду её называть, пришла ко мне. Буду считать, что библиотека в южном Чикаго выбросила устаревшие непопулярные книги, и добрый человек их подобрал и распродаёт в интернете:


«Синяя книга» с самого начала заявила, что вопросы «Почему?» в физике можно задавать бесконечно: на любое объяснение можно задать очередное «А это почему?», пока не получишь ложкой в лоб: «По кочану». Поэтому книга будет отвечать на вопрос: «Какой механизм физики считают ответственным за цвет неба?» И ответ, который удовлетворил бы Леонардо да Винчи («Белый воздух на фоне существующей за ним тьмы кажется синим»), не удовлетворил бы Эйнштейна, который на вопрос о цвете неба ответил следующей формулой:


Так и какой же механизм современные физики считают ответственным за цвет неба? Рэлеевское рассеяние (Rayleigh scattering), конечно. Пришлось всё же вместе с «синей книгой» разбираться, кто такие эти рэлеи и почему они рассеиваются. Английский физик Джон Уильям Стретт, третий барон Рэлей (1842–1919) получил титул не за научную работу, а по наследству от отца, но вместо того, чтобы мирно лордствовать Джон Стретт предпочёл профессорствовать в Кембриджском университете и химичить в фамильном поместье Тирлинг в графстве Эссекс:


В 1869 году другой английский физик Джон Тиндаль наблюдал голубоватое рассеяние на коллоидных частицах в воздухе и в жидкостях. Сине-зелёная составляющая света настолько эффективно рассеивалась, что пропущенный свет стал оранжевого, «закатного» цвета:


В минерале опале или особом стекле подобное явление называется опалесценцией:


Эффект этот подметил ещё Пушкин в «Евгении Онегине»: «Открыты ставни; трубный дым // Столбом восходит голубым…» Но Пушкин не связал его с цветообразованием неба, а Тиндаль такую связь заподозрил. К 19 веку цвет неба пытались объяснить ньютоновской рефракцией: белый солнечный свет попадает на капельки или пузыри воды в верхних слоях атмосферы и раскладывается в гигантскую радугу. Мы на Земле днём видим её синюю часть, а на закате – красную. Почему при этом мы не видим переходного зелёного неба и почему цвет неба не зависит от влажности воздуха, учёные толком объяснить не могли, как и то, почему небесный свет оказывается частно поляризован. Если сфотографировать небо через поляризационный фильтр, то под разными углами оно будет то светлее, то темнее:


В 1871 году Джон Уильям Стретт, тогда ещё не Лорд Рэлей, методом анализа размерностей и подгонометрией под экспериментальный спектр неба, вывел формулу рассеяния для сферических частиц с показателем преломления n и радиусом r, который много меньше длины λ волны падающего на них света (2πr ≪ λ):


Полное сечение рассеяния обратно пропорционально четвёртой степени длины волны. Чем свет краснее, тем он длинноволновее, тем большая величина стоит в знаменателе, тем меньше сечение, тем меньше его рассеяние. И, наоборот, чем свет синее и коротковолновее, тем больше он рассеивается. Размерность сечения — м², то есть площадь. Я для себя решил, что мы мысленно заменяем рассеивающую частицу на пластинку-заглушку. Чем её площадь σ больше, тем больше света рассеется. Общая интенсивность рассеянного света тоже будет обратно пропорциональна λ⁴ или прямо пропорциональна четвёртой степени частоты ν⁴, так как частота колебаний ν, длина волны λ и скорость распространения этой волны (скорость света c = 300 миллионов метров в секунду) связаны формулой: ν = c / λ.

Математика сходилась с экспериментом, но у Джона Стретта не было понимания, что это за маленькие частицы, которые рассеивают свет. Он подозревал капельки жидкости или крупинки морской соли. Кому как не англичанам 19 века знать, что в воздухе летает разная грязь. А световые волны он продолжал рассматривать как механические колебания ещё не открытого мирового эфира. Только в 1881 году лорд Рэлей переделал свою теорию под электромагнетизм Максвелла. А к 1899 году допёр до того, что для объяснения цвета неба достаточно рассеяния на молекулах газов, входящих в состав воздуха. Лорд Рэлей настолько глубоко закопался в теме, что в итоге получил в 1904 году Нобелевскую премию по физике «за исследования плотности наиболее распространённых газов и за открытие аргона в ходе этих исследований». К тому моменту уже был открыт электрон, и физики оказались готовы ответить на вопрос о цвете неба по-взрослому:


Свет – это электромагнитная волна. Когда на пути своего распространения она встречает заряженную частицу, то начинает с ней взаимодействовать. А в любой молекуле, неважно азот это, кислород, или другое вещество, есть отрицательно заряженные электроны и положительно заряженное атомное ядро. Когда электроны попадают во внешнее электромагнитное поле, они смещаются. Отрицательный и положительный заряды в молекуле оказываются разнесены в пространстве, возникает электрический диполь. Но так как внешнее поле — это электромагнитная волна, которая сама постоянно меняется с частотой ν, то и диполь начинает осциллировать с той же частотой ν. А движущиеся электрические заряды в свою очередь излучают во все стороны вторичные электромагнитные волны, частота которых ν, амплитуда пропорциональна ν², а интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды, то есть ν⁴, что и даёт глубинное обоснование закона Рэлея. Это так называемое упругое рассеяние, когда энергия не поглощается на изменение внутренней структуры рассеивающей частицы.

Как только свет рассеялся на одной частице, вторичные волны начинают взаимодействовать с первичной волной (свет от Солнца) и с другими вторичными волнами, которые появились из-за рассеяния на соседних частицах. И встречая эти самые соседние частицы, рассеянный свет может рассеяться ещё раз, порождая множественные рассеяния. У меня точно не хватит математических навыков, чтобы самосогласовать всё это множество волн и вывести результирующую. Но умные люди в начале 20 века это сделали, и поначалу показалось, что никакого рассеяния по механизму Рэлея быть не может. Плотность молекул в воздухе настолько высокая, что в объёме λ³ находятся порядка 5*10⁶ молекул. Это приводит к тому что для каждой вторичной волны, испущенной в результате рассеяния, на расстоянии кратном половине длины волны λ/2 найдётся другая молекула, которая тоже породила волну с той же частотой и амплитудой, но фазы этих волн окажутся смещёнными настолько, что они деструктивно интерферируют. С зеркальной поверхностью происходит нечто похожее: электромагнитная волна подлетает к веществу, вызывает в нём осцилляцию диполей, но вторичные волны так складываются, что луч отражается, а внутрь волна не пропускается. И не пускает её деструктивная интерференция, а не какой-нибудь квантовый бабайка.

Выход нашли польский физик Мариан Смолуховский и немецко-швейцарско-австрийский физик Альберт Эйнштейн. Всё дело в тепловых флуктуациях плотности, которые неизбежны в газе, если он только не находится при абсолютном нуле температур. В «синей книге» этот момент объясняется так: пусть в среднем в каждом объёме газа N молекул, но за счёт того, что они туда-сюда хаотически летают, маловероятно, чтобы в случайно выбранном объёме было ровно-ровно N молекул. По распределению Пуассона с вероятностью 66% отыщется (N ± √N) молекул. Пусть один объём рассеял свет с амплитудой NA. Через λ/2 он встретит (N + √N)A волн с противоположной фазой, но после деструктивной интерференции останется амплитуда √N * A, которая после возведения в квадрат даст интенсивность NA². Рэлей думал, что рассеяние пропорционально концентрации молекул N, а оно на самом деле пропорционально квадрату средней тепловой флуктуации концентрации, который для идеального газа совпадает с N:


И тут у меня случился очередной затык. Я до сих пор не понимаю, почему флуктуации тоже в свою очередь не усредняются. Ну, встретил свет от N молекул вначале свет от (N + √N) молекул, осталось √N, а потом он встретит другой объём газа, где случайно окажется уже (N – √N) молекул. Почему бы им в итоге всем не проинтерферировать в ноль, как если бы молекулы располагались в узлах регулярной кристаллической решётки? У меня нет ответа, поэтому я вернусь к формулам, которые я ещё понимаю. Если свет рассеивается пропорционально 1/λ⁴, то синий свет будет рассеиваться примерно в (650 / 450)⁴ ≈ 4 раза больше красного, а фиолетовый в (650 / 400)⁴ ≈ 7 раз больше. И картинка рассеяния будет выглядеть примерно так:


Почему тогда небо не фиолетовое? Видел я объяснения, что якобы в солнечном спектре фиолетового слишком мало: озоновый слой съедает его вместе с ультрафиолетом (УФ). Или что человеческий глаз якобы нечувствителен к фиолетовому. Вот были бы мы пчёлами, которые не видят красного, но видят в УФ, то небо казалось бы нам фиолетовым. В школе учат, что зрение обеспечивается двумя типами клеток: палочками, которые не различают цвета, только яркость света, и колбочками, которые у человека представлены тремя типами фоточувствительных пигментов: условно синими, зелёными и красными. И вот в фиолетовой области их чувствительность резко идёт вниз (чёрная линия — это чувствительность палочек):


Но, во-первых, в радуге фиолетовый есть, и мы прекрасно его видим. Во-вторых, если проблема только с чувствительностью глаза, почему на фотографиях тогда небо не фиолетовое? С одной стороны виновата цветокоррекция. Мы можем настроить фотоаппараты так, чтобы они снимали, как мы видим, а можем вообще снимать в недоступном человеческому глазу ИК- и УФ-диапазонах. Говорят, что когда аппарат «Викинг» впервые прислал фото с Марса, небо на нём было красным, но это была ошибка цветокоррекции. Когда её перенастроили по американскому флагу, оказалось, что марсианское небо цвета ирисок (butterscotch):


Атмосфера Марса тонкая, рассеяние Рэлея слабое, но из-за низкой гравитации с пустынной поверхности летят частицы оксида железа(II). Поглощение и рассеяние Ми на них даёт желтоватый цвет дневного неба на Марсе. Марсианские закаты при этом голубые:


Возвращаясь на поверхность Земли, мы должны признать, что в солнечном спектре есть фиолетовые лучи даже после поглощения атмосферой:


Их заметно меньше, чем синих или зелёных, но в том-то и дело, что мы видим всю смесь разом. Такой набор световых лучей, если они попадут нам в глаз, мы эволюционно приучились воспринимать как белый цвет:


Чтобы понять, как этот белый солнечный свет рассеивается по закону четвёртой степени Рэлея, надо этот спектр умножить на картинку с убывающей гиперболой 1/λ⁴. На выходе имеем спектр голубого неба:


Небесный свет кажется нам монохроматическим с длиной волны 475 нм, но это смесь всех тех же видимых цветов только в другой пропорции. Красные, жёлтые и зелёные лучи тоже рассеиваются молекулами воздуха, но в меньшей степени, чем голубые, синие и тем более фиолетовые. Новая смесь лучей воспринимается нашим мозгом как голубая. Не было бы в солнечном спектре фиолетового или не было бы у наших глаз чувствительности к фиолетовому, эта смесь, очень вероятно, казалась бы нам зелёной. И жили бы мы под зелёным небом. Вот ещё одно сравнение спектра прямого солнечного света (красные и жёлтые линии — в зависимости от погодных условий) и спектра неба (синие линии; увеличены в 20 раз для лучшего сравнения, так как рассеянный свет намного менее интенсивный, чем прямой):


Такой свет неба, пока долетит до нашего глаза, может ещё не раз рассеяться. И в свою очередь обедниться фиолетово-голубыми лучами, всё более возвращаясь назад к смеси, воспринимаемой нами как белая. Я только при подготовке этого поста обратил внимание, что небо не равномерно голубое, а градиентно окрашенное: на горизонте оно заметно бледнее, чем в зените:


На фото вы можете видеть ещё один хорошо известный эффект — «посинение» далёких гор, который Леонардо да Винчи активно использовал на своих картинах для создания эффекта глубины. По жизни горы не синие. Синий цвет, наоборот, хуже всего виден издалека, так как рассеивается атмосферой, и потому сигнальные огни делают не синими, а красными. Мы видим рассеянный свет от солнечных лучей, которые бьют в землю между нами и горами? Я читал объяснение, что на самом деле горы кажутся нам не синими, а серыми. Всё дело снова в чувствительности глаз: издалека прилетает так мало отражённых от гор фотонов, что глаз переключается в режим ночного видения, когда колбочки отключаются и работают только палочки. Но часто голубизна гор столь очевидна и заметна с такого близкого расстояния, что рэлеевское рассеяние не может быть причиной:


Если бы оно было столько эффективно, Земля из космоса казалась бы однородно голубым шаром, как планета Нептун (за цвет которой отвечает поглощение красных лучей толщей метана). А раз мы видим на фото из космоса сушу и океаны, то далеко не все фотоны рассеиваются: значительная часть долетает до поверхности и избирательно отражается:


А вот сквозь облака, которые рассеивают по закону Ми, мы действительно не видим. И голубая дымка над Blue Ridge Mountains в восточных штатах не суперэффективное рэлеевское рассеяние, а рассеяние Ми в аэрозоле летящей от лесов органики.

Но всё же: если синие лучи в атмосфере преимущественно рассеиваются, то куда деваются красные, если их не видно ни с Земли, ни из космоса? Как вы понимаете, это вопрос с подвохом, потому что мы прекрасно видим эти нерассеянные красные лучи на закате. В Юте, когда я пишу это предложение около 4:40 дня. Свет, который потерял значительную часть фиолетовых, синих и зелёных лучей и меньшую часть жёлтых и красных лучей на рассеяние, чтобы у нас было голубое небо, летит дальше. Пока не долетает на восток до Нью-Йорка в виде заката и на запад в Бангкок в виде рассвета:


Есть такое цветовое пространство, предложенное Международной комиссией по освещению. Когда я увидел его в первый раз, ничего не понял. Но оно отвечает на вопрос из начала поста: почему цвет неба, переходя от голубого к красному, никогда не становится зелёным:


Я мыслил в рамках монохроматического спектра, который представлен здесь внешней дугой. По нему действительно невозможно перейти от голубого 475 к оранжево-красному 590, не вляпавшись по пути на 550 в зелёный. Но цвет неба никогда не одна спектральная линия, а смесь. Белого цвета тоже нет в спектре: он представлен пятном смеси всех цветов по центру. И внутри этого пространства возможен переход от голубого к красному, минуя зелёный. Хотя при желании, смотря на закат или на рассвет, можно выделить размытую зелёную полосу посередине:


А вот почему большая часть неба и после заката остаётся синей — интересный вопрос. Краснота на закате объясняется тем, что солнечные лучи проходят сквозь атмосферу оптический путь в 30–40 раз больший, чем в полдень. Синие лучи рассеялись сильно, красные несильно, и вот результат. Отчего же небо после заката синее? В английском эта пора так и называется “blue hour”.

Разумное объяснение предложили только в 1953 году. Виноват озон. На закате и после заката путь солнечных лучей через озоновый слой стратосферы увеличивается в десятки раз, и озон поглощает не 2% оранжевых фотонов, а все 40%. Погодите, разве тогда не складывается идеальная ситуация для зелёного неба? Днём оно не зелёное из-за доминирования синего, на закате — из-за доминирования красного. Но если мы убрали синие лучи рэлеевским рассеянием, а красные адсорбцией озона, то после заката мы имеем право на зелёное небо. К сожалению, озон поглощает не только красный, но и весь оставшийся после рассеяния зелёный (510–550 нм). Вот спектр поглощения озона:


И остаётся только недорассеянный и не поглощённый озоном синий. Автора «синий книги» спросили, а не будет ли тогда небо в Антарктиде под озоновой дырой зелёным. Он написал, что это хороший вопрос, но разрешить его можно будет только, если ему оплатят экспедицию на Южный полюс. Зелёное небо у нас и так прочно ассоциируется с полярными областями из-за северного (и южного) сияния:


Но его механизм заключается в том, что магнитные бури на Солнце приносят поток энергичных заряженных частиц, которые переводят молекулы кислорода и азота в диссоциированное и возбуждённое состояние. Кстати, похожее возбуждение кислорода возможно и под действием ультрафиолета дневного излучения. И каждую ночь рекомбинация N + O = NO + hν сопровождается зеленоватым свечением (airglow — собственное свечение атмосферы), но оно слишком бледное, чтобы мы видели его невооружённым глазом, который в темноте переключается на чёрно-белое зрение. Зато вооружённым глазом видна красота:


Но ты же поставил на заглавную картинку поста зелёное небо? Это кто-то баловался в графическом редакторе? Нет, утверждают, что это реальные цвета, которые наблюдались одним июльским вечером в Южной Дакоте. Такое небо является предвозвестником бури под названием деречо. Всем известно торнадо, которое с испанского переводится как «закрученный», так вот бывает ещё и деречо — прямой фронт ураганных ветров. Точный механизм позеленения неба неизвестен, но похоже, что роль играет рассеяние Ми на частицах воды и пыли на фоне закате. Наконец-то, складываются условия, когда из цвета неба убрали красный с синим и зелёный правит бал. Но жители Дакоты знают, что если небо позеленело, надо не любоваться, а бежать в укрытие:


***

Мой рассказ получился не столько о цвете неба, сколько о блуждании человеческой мысли в эпоху Википедии. На раз-два гуглился ответ о цвете неба, которого с лихвой хватит человеку без высшего физического образования. Я мог на нём остановиться, но засело во мне желание идти в тумане рассеяния куда глаза глядят:


Не все вопросы оказались мне по зубам, но основной туман рассеялся, и остались лишь несколько неразрешённых облачек посреди отныне понятного голубого неба: