Коварные карты и справедливые монеты

Я с детства обожаю занимательные задачи по математике. Вчера в приложении Brilliant мне попалась на первый взгляд элементарнейшая задачка:

Задача №1. В колоде 52 карты: 26 красных и 26 чёрных (никаких джокеров). После того как колода тщательно перетасована, какова вероятность того, что верхняя и нижняя карты окажутся одного цвета?

A) Меньше 50%. B) Ровно 50%. C) Больше 50%. D) Невозможно сказать, потому что здесь какой-то трюк.

Как говорится: выберите ответ, который вам больше всего нравится. Я выбрал, не задумываясь:


Трюк действительно был. Я рассказал брату о своём фиаско. После жирной подсказки, что я поторопился и ответил неправильно, он моментально решил эту задачу и заметил, что чтобы глубже осознать мою ошибку, надо решить задачу №2.

Задача №2. Мы подбрасываем 52 честные монеты. Какова вероятность того, что результаты подбрасывания первой и пятьдесят второй монеты совпадут (то есть либо обе выпадут «решкой», либо обе выпадут «орлом»)?

A) Меньше 50%. B) Ровно 50%. C) Больше 50%. D) Здесь точно какой-то трюк.

Интересно, в советское время, когда на монетах не было никаких орлов, продолжали говорить «орёл или решка»? В английском языке говорят heads or tails (головы или хвосты), у древних римлян было navia aut caput (корабль или голова), у нумизматов есть свои аверс и реверс, в которых я постоянно путаюсь. Мой брат заметил, что и «решка» – странное слово, которое используется только для обозначения стороны монеты. Вики пишет, что оно, вероятнее всего, произошло от императорского вензеля в виде решётки, но есть ещё версия, что решка = ряшка = ряха = лик Государя Императора. А под «честной монетой» (fair coin) в теории вероятности обозначают не то, что она не фальшивая, а то, что при её подбрасывании Ленин с вероятностями по 50% упадёт либо головой, либо хвостом кверху, но ни в коем случае не на ребро:


Различие между картами и монетами становится очевидным, если переформулировать задачи на две карты (1 красная, 1 чёрная) и на броски всего двух монет. Поэтому в блэкджеке можно считать карты, а при игре в рулетку верить, что после красного вероятнее выпадет чёрное, – ошибка игрока (gambler’s fallacy или «ложный вывод Монте-Карло»). Я как раз в феврале прочитал «Игрока» Достоевского, где герои не дружат с теорией вероятности:


Затем я задал обе задачи (на английском) ИИ-чатам. Разумеется, они легко их решили. Про первую задачу СhatGPT пошутил, что нет варианта ответа «0 или 1»: верхняя и нижняя карты или будут одного цвета, или не будут. А Gemini задал мне в ответ задачу в типичном для ИИ многословном стиле:

Задача №3. Профессор достает из кармана небольшой шелковый мешочек на шнурке. «Внутри этого мешочка, — объявляет он, — находятся ровно два шарика: один — белый, как облако, а другой — черный, как уголь».

Он приглашает на сцену добровольца. «Опустите руку внутрь, не глядя, и вытащите один шарик. Запомните его цвет, а затем положите обратно. Но вот в чем хитрость: прежде чем вы будете тянуть снова, я добавлю в мешочек третий шарик — точную копию того, который вы только что вытащили».

Доброволец вытаскивает белый шарик. Профессор кивает и опускает в мешочек второй белый шарик. Теперь внутри три шарика: два белых и один черный.

«Каждый раз, вытаскивая шарик, вы будете класть его обратно, а я добавлять к нашей коллекции новый шарик того же цвета, — говорит Профессор, и глаза его озорно поблескивают. — Мы будем повторять этот процесс до тех пор, пока в мешочке не окажется ровно 52 шарика. Какова вероятность, что шарик, вытащенный из этого переполненного мешочка, окажется белым?»

A) 1/2. B) 2/3. C) 51/52. D) Ещё ближе к 1, чем 51/52.

Так как первый вытащенный шарик был белый и в мешочке уже два белых и один чёрный, я был уверен, что вероятность вытащить белый будет только увеличиваться. К 52-му испытанию белых шариков в мешочке должно стать как грязи. Тем удивительнее мне было увидеть ответ, который ИИ посчитал правильным.

Чат рассказал, что эта модель называется «урна Пойи» (Pólya urn). Почему урна, а не мусорное ведро Пойи? «В своем труде “Искусство предположений” (Ars Conjectandi, 1713) Якоб Бернулли рассмотрел задачу определения пропорций камешков различных цветов, находящихся в урне, на основе анализа некоторого количества камешков, извлеченных из нее. Бернулли использовал латинское слово urna, которое в первую очередь означает глиняный сосуд, но в Древнем Риме также служило общим термином для обозначения любого сосуда, предназначенного для сбора избирательных бюллетеней или жребия»:


Имя математика было мне знакомо. Дьёрдь Пойа (1887–1985) – венгерско-швейцарско-американский математик и популяризатор математики. Ну, популяризатор для тех, кто уже в математике шарит. Нашёл такую байку из его воспоминаний: «В Цюрихе проходил семинар для студентов старших курсов, который вёл я, и среди слушателей был фон Нейман. Я подошел к одной задаче и заметил, что она не решена и может оказаться сложной. Фон Нейман ничего не сказал, но спустя пять минут поднял руку. Когда я предоставил ему слово, он вышел к доске и приступил к записи доказательства. С тех пор я побаивался фон Неймана»:


В попытке разобраться, кто глючит: Gemini или я, – я нашёл объяснение «на пальцах», как работает урна Пойи, по невероятному совпадению на примере колоды из 52 карт + джокер. И я увидел, что я не фон Нейман. Отдельные шаги я ещё понимал, но общая глубокая картина от меня ускользала.

Во время сегодняшнего хайка я пересказал ответ с Mathematics Stack Exchange другому близнецу. Мой брат, который тоже не фон Нейман, но PhD по математике когда-то получил, ответил, что в изначальной задаче произошла подмена понятий. ИИ задал вопрос не о вероятности, а о математическом ожидании распределения вероятностей. Из трёх шариков, какого бы они цвета ни были, нельзя вытянуть белый с вероятностью 1/2. И тут я всё понял. Изображение урны Пойи из какой-то статьи в Nature по биологии:


Как однажды заметил всё тот же Пойа: «Лучше решить одну задачу пятью разными способами, чем пять задач – одним». Хоть одно решение до меня дойдёт. Если хотите сравнить и обсудить решения трёх поставленных задач, с радостью пообщаюсь в комментариях. А закончу ещё одним анекдотом:

Харди некоторое время работал вместе с Пойа, и во время их совместной работы Пойа выдвинул некую оригинальную идею, которую Харди одобрил. Однако Пойа не спешил развивать свою идею, что не понравилось Харди, который прямо не выказал своё недовольство коллеге. Харди сделал это несколько позже, когда вместе с другим коллегой он посетил Стокгольмский зоопарк. Там они увидели медведя, сидящего в запертой клетке, а замок висел на дверце снаружи. Медведь подошёл к дверце, потрогал лапой замок, фыркнул, немного порычал и ушёл вглубь клетки. Харди саркастически заметил: «Как он похож на Пойа – у того тоже бывают великолепные идеи, но он никогда не доводит их до конца».

А как вы решаете задачи: как фон Нейман или как стокгольмский медведь? Я как медведь: потрогаю лапой, и если не решается, лезу в ответы.

Курт Гёдель – сумасшедший друг Эйнштейна?

А у вас какая первая ассоциация, когда вы слышите о Курте Гёделе? Многие вспомнят его знаменитую теорему о неполноте. В 1931 году, развивая свою докторскую диссертацию из Университета Вены, Гёдель доказал, что в математике существуют истинные утверждения, истинность которых невозможно доказать. Этакий единорог Гёделя, про которого мы никогда не узнаем, что он существует, так как не сможем открыть ящик, в котором он сидит.


Не буду вдаваться в тонкости, о каких математических системах, утверждениях и доказательствах идёт речь. Один профессор по имени Дуглас Хофштадтер так взялся писать о теореме Гёделя методичку для студентов, а в результате настрочил «кирпич» под названием «Гёдель, Эшер, Бах», который я читал целый год. Но широкой публике Гёдель известен в первую очередь как друг и собеседник Эйнштейна.


Оба этих выдающихся учёных провели свои последние годы в Институте перспективных исследований (Institute for Advanced Study) в Принстоне. Под конец жизни Альберт Эйнштейн признавался, что приходит в Институт только ради бесед с Куртом Гёделем. Вдвоём они наворачивали круги вокруг пруда в институтском лесопарке, рассуждая о боге и путешествиях во времени.


Я жду, когда Голливуд снимет о Курте Гёделе фильм. Гуманитарии любят истории о сумасшедших математиках. Среди баек о его жизни можно отыскать уйму кинематографичных событий. Не меньше, чем в байках о директоре Института перспективных исследований Роберте Оппенгеймере. Например, как Гёдель с женой убегали от нацистов с письмом-предупреждением для Эйнштейна об атомной программе Гитлера. Зимой 1940 года из Вены в Принстон они добирались восточным путём через Латвию, Москву, Транссиб, Владивосток, Японию и Сан-Франциско. Но письмо не потребовалось: Эйнштейн уже был в курсе и уже предупредил президента Рузвельта, а к созданию бомбы Гёделя не подпустили.


Или известная байка о том, как в 1947 году Гёдель получал американское гражданство. На экзамене он заартачился, отказываясь присягать Конституции США, в которой он нашёл логическую ошибку, позволяющую совершенно легально превратить американскую демократию в фашистскую диктатуру. Юристы до сих пор спорят, в чём именно состоит «лазейка Гёделя». Эйнштейн, который присутствовал в качестве свидетеля, убедил своего друга, что математическая логика не всегда совместима с реальной жизнью, и упросил судью Филипа Формана, который хорошо знал Эйнштейна, выдать непутёвому Гёделю его гражданство. На камеру этот момент не попал, так что пусть будет фото 1951 года, когда Эйнштейн вручает Гёделю премию имени себя:


Но из всех баек о Гёделе мне больше всего запомнился трагический конец великого логика. С годами у Гёделя развился панический страх, что его хотят отравить – правительство или инопланетяне – не важно. Он отказывался есть пищу, приготовленную кем-либо, кроме его жены. Жене он, значит, доверял, но она должна была попробовать свою стряпню сама, прежде чем он отваживался её съесть.


В своё время родители Курта была против его брака с Аделью Нимбурски, потому что Адель была старше его на 6 лет, разведена и работала танцовщицей в кабаре. Вот тут мы с братом заспорили: он сказал, что это очень логичный выбор для математика, а науку можно и с Эйнштейном обсудить. Я же заявил, что решение о браке не принимается логикой, иначе Гёдель женился бы на своей теореме. В общем, все гадали, почему гений захотел жениться на обычной женщине, а никто не спросил, почему нормальная женщина согласилась выйти замуж за гения. Как бы то ни было, в 1938 году, через десять лет после знакомства, Курт и Адель поженились и прожили в браке сорок лет до самой его смерти.


Но с ума Гёдель сошёл не из-за брака. Он попадал в психиатрическую лечебницу ещё в 1936 году, когда у него случился нервный срыв после того, как лидер Венского кружка философ Мориц Шлик, чьи семинары Гёдель посещал, был убит своим бывшим аспирантом. С тех пор у Гёделя и развилась паранойя насчёт отравления. Пишут, что Гёдель верил в жизнь после смерти, ангелов и демонов, но отправиться к ним не спешил. А самым любимым его фильмом был «Белоснежка и семь гномов» – тот самый с отравленным яблоком.


Подозреваю, что Адель было непросто жить вместе со скатывающимся в безумие гением. Коллеги Гёделя относились к ней снисходительно, как к человеку не из интеллектуальной среды. Но Адель гордилась, что она жена настоящего профессора. И без неё Курт вообще не выжил бы. Только с её поддержкой он справлялся со своей паранойей насчёт отравления. А так же требовал держать окно дома открытым круглый год, так как боялся ядовитых испарений от холодильника. На улицу выходил только в лыжной маске, закрывающей нос, и отказался поехать в Белый дом, где президент Джеральд Форд хотел вручить ему Национальную научную медаль, так как боялся заразиться.


Но однажды Адель сама заболела и попала в больницу. Оставшись дома один, Гёдель просто перестал есть. Его тоже госпитализировали, но никак не могли заставить есть, и через две недели Курт Гёдель умер от истощения, вызванного расстройством личности. Перед смертью он исхудал до 65 фунтов (29 кг). Ужасно нелогичная кончина для величайшего логика со времён Аристотеля: так боялся отравления, что принял мучительную смерть от голода. Адель Гёдель пережила мужа на три года.


История сама по себе невесёлая, но одно совпадение не оставляет меня в покое. В год смерти Курта Гёделя вышла книга логических головоломок Рэймонда Смаллиана “What Is the Name of This Book?” (1978; «Как же называется эта книга?»). Смаллиана Википедия описывает как пианиста, автора научно-популярных книг, даосского философа и фокусника-престидижитатора, но у него была степень PhD по математике из Принстона (1959) под руководством другого известного логика Алонзо Чёрча. И Смаллиан как раз изучал, к каким формальным системам применима теорема Гёделя о неполноте, написал её популярное изложение и включил её в свою книгу головоломок:


В этой книге есть загадка, поразившая меня параллелями с судьбой несчастного Гёделя. У Смаллиана герои обозначены буквами A, B, C, но я, продолжая тему Вены, куда мы собираемся этим летом, осмелился их переназвать.

Моцарт, Сальери, и пусть будет Бетховен, пересекают пустыню Сахара, где единственный источник воды – личная фляжка у каждого из них.


Ночью во время привала Сальери решил убить Моцарта и подсыпал во фляжку Моцарта яд. Но прежде чем Моцарт успел из неё выпить, проснулся Бетховен и тоже решил убить Моцарта. Он не слышал, как вставал Сальери, и не зная, что вода во фляжке Моцарта отравлена, проткнул её гвоздём, и вся вода вылилась. Они отправились дальше, у Моцарта не было воды, и через неделю он умер от жажды. Вопрос: кто убил Моцарта – Сальери или Бетховен?

Вот такая задача. С юридической и этической точки зрения оба виноваты. Но с математической? С одной стороны если Моцарт умер от жажды, виноват Бетховен, который опустошил его фляжку. Но с другой стороны, если бы Бетховен её не опустошил, Моцарт умер бы от яда, подсыпанного Сальери ещё раньше. То есть Бетховен ещё нечаянно продлил жизнь Моцарта, и виновен Сальери? А с чего он виновен, если Моцарт умер не от его яда и все равно бы умер от жажды, даже если бы Сальери яд не подсыпал. Так кто же убил? Сам Моцарт? Это одна из загадок в книжке, для которой Смаллиан не даёт однозначной отгадки. У меня есть своё решение, но я попридержу его до ответов на комментарии.


Похоже, что это вариация старинной логической головоломки и Смаллиан ещё не знал о кончине Гёделя, когда составлял свою книгу. Но меня такое совпадение натолкнуло на идею написать сюрреалистическую новеллу или пьесу «Сказки Гёделя» в жанре магического математизма. Захотелось если не рационально, то хотя бы фантастически объяснить поведение Курта. Стал набрасывать идеи, где главной героиней становилась Теорема Гёделя, похожая одновременно на Мефистофеля и на Chat GPT, и понял, что сюжет слишком напоминает «Игры разума». Кстати, Джон Нэш, главный герой того фильма, тоже был из Принстона. Я не знаю, почему там так много математиков сходит с ума (Воеводский ещё): виноваты принстонские привидения или что-то в водопроводной воде? В общем, правильно я сделал, что не пошёл туда в аспирантуру: попал бы к МакМиллану и до PhD не дожил бы. Вот моё фото из Принстона, когда я был там на конференции в 2011 году: можете сами закончить высказывание Эйнштейна:


С таким настроением, сам не веря в возможность хеппи-энда, я решил отложить «Сказки Гёделя» до лучших времён и искать более весёлые истории. В лучшем случае у меня получился бы штампованный математик-чудик типа Шелдона Купера. В худшем – публика вынесла бы из моего произведения, что Курт Гёдель был всего лишь сумасшедшим другом Эйнштейна.

Загадка деления на ноль, или Чему равно 1/0

С детства мне говорили, что на ноль делить нельзя. Я же подозревал, что меня обманывают. Учителя, учебники и калькуляторы скрывают от меня всю правду. И я верил, что «настоящие-то математики» знают, как делить на ноль, и когда я вырасту, то тоже научусь и буду подсмеиваться над теми, кто пока не умеет делить на ноль.


Почему запрещают делить на ноль в школьных учебниках мне было ясно: их авторы не хотят грузить детей той математикой, которая им не по зубам. Так в начальной школе могут научить, что нельзя из меньшего числа вычесть большее, например, из 7 нельзя вычесть 9, но в средней уже всё прекрасно вычитается, и получаются отрицательные числа: 7 – 9 = –2. Калькуляторы могли вычитать бóльшие числа из меньших, но выдавали ошибку в случае деления на ноль. В то же время калькуляторы выдавали ошибку, если я пытался возвести очень большое число в квадрат. Но это же не означало, что натуральные числа конечны и существует «самое большое число», к которому уже никак нельзя прибавить ещё единицу. Очевидно, что в калькуляторах было запрограммировано максимальное отображаемое число. Как мне было не предположить, что их нежелание делить на ноль – это столь же искусственное ограничение, заложенное не математикой, а разработчиками калькуляторов.


Помню, как в своё время меня поразило наблюдение, что когда мы делим единицу на всё уменьшающиеся по модулю числа, результат становится всё больше и больше: 1 / 0,01 = 100, 1 / 0,001 = 1000, а 1 / 10^–100 = 10¹⁰⁰. Я уже знал, что в математике есть понятие бесконечности, обозначаемое красивым значком ∞ в виде восьмёрки, повёрнутой на угол π/2. И мне казалось абсолютно логичным заключить, что при уменьшении делителя до нуля частное увеличится до бесконечности: 1/0 = ∞. Всё просто: учебники и калькуляторы боялись бесконечности. И я пребывал в уверенности, что наконец умею делить на ноль, пока не познакомился с понятием предела и попытался понять тонкое различие между фразами «равняется» и «в пределе стремится к». От моей уверенности не осталось и следа.

У меня оставалась надежда, что если деление на ноль не бесконечность, то какое-нибудь другое, «обнулённое» число. Я продолжал верить в способность математиков доставить из математической вселенной новые сущности как кроликов из шляпы Фибоначчи. Выдумали же, что «невозможный» квадратный корень из отрицательного числа –1 – это всего лишь мнимая единица i. Почему бы и с делением на ноль не заявить, что 1/0 = некоторому числу ξ' с такими-то и такими-то свойствами? Краем уха я слыхал о некоей «теории колеса», которая обещала объяснить и включить деление на ноль – не это ли тот грааль, который я ищу?


Итак, нам надо решить уравнение 1/0 = x, выглядящее как задача на уровне начальной школы. Вариант, что на ноль делить нельзя, ни в каких обстоятельствах и ни в каких числах, я считал обидным для математического сообщества, которое на каждое хитрое уравнение найдёт свой корень с индексом. Варианты, что 1/0 = 0 или 1/0 = 1, я отвергал, как слишком простые. Если бы так можно было, об этом рассказывали бы во втором классе. Заманчиво, но опасно выглядел вариант, что 1/0 = ∞. И, в худшем случае, приходилось признать, что разделив на ноль, мы перенесёмся в область совершенно новых и необычных чисел, где можно для начала заявить, что 1/0 = колесо, а потом уже разбираться, с чем это колесо едят. Один из этих вариантов должен быть правильный, но какой?

Я попробовал разобраться на бытовом примере. Начнём с деления, которое мы знаем, как осуществить. Нам надо разделить семь колец среди семи драконов, сколько колец получит каждый дракон?


Любому хоббиту понятно, что 7/7 = 1, по одному кольцу.

Мы настолько ловки в математике, что можем разделить и ноль колец среди 7 драконов.


Тогда каждому дракону достанется 0/7 = 0 колец, то есть ничего не достанется.

А теперь допустим, что 7 колец у нас есть, а драконов не существует, если разделить 7 колец среди нуля драконов, сколько колец достанется каждому дракону?


И здесь я завис. Такое впечатление, что сама природа не терпит деления на ноль. Но в математике же всё никак в жизни. Она оперирует не бытовыми, а абстрактно-фантастическими понятиями. Если у вас было 7 колец и дракон украл 9 из них, сколько колец у вас осталось? Ни одного? А вот и нет! Математика говорит, что у вас осталось 7 – 9 = –2 кольца. Вот когда вам дракон вернёт два кольца, тогда у вас ничего не останется. Почему же математика не может придумать аналогичную лазейку с делением на ноль?

Если королю надо разделить королевство между семью сыновьями – это проблема политическая. А если ему надо разделить то же королевство между нулём сыновей – это проблема совсем другого порядка, не только политическая и семейная, но и математическая.


Король вызвал главного придворного математика и приказал ему разрешить загадку деления на ноль, если тот хочет сохранить своё тёплое местечко.


Мудрец начал рассуждать так:

«Если мы разделим одно королевство на ноль сыновей, то мы получим некий х.
1/0 = х.
Умножим обе части этого равенства на 2: мы же можем себе такое позволить.
2 * 1/0 = 2 * х
2/0 = 2х
Теперь в дроби, стоящей в левой части, разделим и числитель, и знаменатель на 2 или, что то же самое, умножим на 1/2.
(2/2) / (0/2) = 2х
1/0 = 2х
Но мы начали с того, что 1/0 – это х.
х = 2х.
Разделим обе части этого равенства на х, и получим, что 1 = 2. Хм… Нехорошо получилось».

– Это же ересь, без суда понятно, что ересь, – разозлился король. – Что же получается: если начать делить королевство на ноль, то всё позволено? Единица станет равной двойке, а последний крестьянин равен королю?

Временно исполняющим должность главного придворного математика король назначил своего казначея. Кто как не он должен уметь манипулировать с числами, чтобы каждый раз получать удобный для короля результат.


Казначей для начала заметил:

«Деление представляет собой последовательное вычитание, аналогично тому, как умножение есть последовательное сложение. Вопрос “Сколько будет 2 х 3?” эквивалентен тому, чтобы спросить “Сколько получится, если к нулю три раза прибавить число 2?”:

2 * 3 = 0 + 2 + 2 + 2 = 6.

А “Сколько будет 6 / 2?” тогда эквивалентно вопросу “Сколько раз надо вычесть число 2 из 6, чтобы получить 0?”:

6 / 2 = 6 – 2 – 2 – 2 = 0.

Три раза. Поэтому 6/2 = 3.

Чему же тогда будет равно 6/0? Тому, сколько раз надо вычесть ноль из шести, чтобы получился ноль. Начинаем вычитать: 6 минус 0, равно 6. Минус 0, минус 0. Трёх раз, как видно, недостаточно. Продолжим, минус 0, минус 0…»

6 – 0 – 0 –… – 0 = 6.

Казначей начал подозревать, что вычитать ноль из шести можно бесконечно много раз, и так и не достигнуть нуля, и очень этому факту обрадовался. Получается, что деление на ноль не число, а процесс. И этот процесс обещал быть долгим и обеспечить его непыльной бюрократической работой при дворе в качестве главного делителя на ноль. Лишь бы за неё вовремя платили зарплату. А там или он помрёт, или король.

Но знаете, что не было бесконечным? Королевское терпение. После сотого вычитания король спросил:
– По этому алгоритму 0 / 0 = 0, потому что из нуля не надо ни сколько раз вычитать ноль, чтобы получить ноль. Так ли это?
– О, ваше величество, вы очень наблюдательны, – ответил казначей, прервав свои вычитания. – Точно так же определил деление нуля на ноль индийский математик Брахмагупта, который в 7 веке нашей эры одним из первых признал ноль за отдельное число. Умные были эти древние математики, не чета нынешним.
И казначей насмешливо посмотрел на бывшего главного придворного математика.


Но от короля последовал новый вопрос:
– И как этот Брахмагупта делил 1 на 0?
– Никак, ваше величество. Он определил результат деления положительного или отрицательного числа на ноль как дробь с нулём в знаменателе.
– Через это мы уже проходили, – сердито сказал король. – Кончайте ваши глупости с вычитанием, вы так до утра не дойдёте до нуля.

После того, как второй придворный мудрец остался с нулём, во дворец пригласили стороннего эксперта. Седобородый глава Гильдии Математиков предложил подойти к проблеме графически с привлечением основ матанализа и начал объяснять как можно понятнее:


«График функции y = 1 / x при приближении к x = 0 справа улетает в высь, по направлению к «y равняется очень-очень большому числу» или y = +∞.


С этим графиком существует одно наивное объяснение, почему якобы нельзя делить на ноль. Посмотрите сами: график функции y = 1/x состоит из двух ветвей гиперболы. Одна находится в области положительных значений, где по мере того, как мы приближаемся к нулю справа по оси абсцисс, значение функции уходит в плюс бесконечность. А вот если мы проделаем тот же трюк с левой ветвью того же графика, в области отрицательных значений, то при приближении к нулю слева мы резко уходим вниз к y = –∞. И я однажды слышал “объяснение”, что раз пределы при приближении к нулю справа и слева не совпадают, то предела не существует, то есть существуют два разных односторонних предела, и поэтому делить на ноль нельзя. Ха-ха-ха!


Если бы дело было только в знаке бесконечности, к которой мы стремимся, то мы могли бы взять другой график, например y = 1 / x²:


Или, что ещё проще, y = 1 / |x|.


Здесь значения функции только положительны, и при приближении к x = 0 что справа, что слева, значение функции y стремится к +∞. Значит ли, что на ноль мы делить не можем, а вот на ноль в квадрате или на модуль нуля – пожалуйста, и мы получим +∞?

Нет, не значит. Проблема не в том, что предела не существует. При желании мы можем записать, что предел 1/x при x, стремящемся к нулю, есть беззнаковая бесконечность ∞ или ±∞.


Отвлечёмся на минуту от вопроса, что это за зверь «бесконечность» и почему она является не числом, а философской концепцией. Проблема в самом определении предела. Мы получаем бесконечность, когда делим 1 на число очень-очень близкое к нулю, но не на сам ноль. Я не хочу клеветать на математический анализ. Он очень полезен для раскрытия некоторых неопределённых форм. Если мы рассмотрим пределы других функций, чей знаменатель стремится к нулю при x → 0, мы можем получить самые разные значения: ноль, единицу, бесконечность:


Нет же ничего удивительного в том, что даже очень маленькое по модулю число, разделённое на само себя, даст единицу? Но предел функции – это всего лишь предел. Функция y = 1/x не непрерывна в нуле, поэтому мы можем описать поведение функции сколь угодно близко к нулю, но не в самом нуле. Здесь в нуле, вне области определения функции y = 1/x, математический анализ оказывается бессилен».

Глава Гильдии Математиков умолк и развёл руками, а король воскликнул:
– Воистину, если бог создал всё, то кто создал ничего, то есть ноль? Дьявол! Неужели в этой стране не найдётся никого, кто мог с ним совладать и разделить единицу на проклятый ноль?

Слово взял королевский астролог, хитрец и льстец.


Помня о судьбе первых трёх мудрецов, он сразу сказал: «На ноль делить можно! Говорят, что чёрные дыры – это места, где боги поделили на ноль».

И, завладев всеобщим вниманием, астролог продолжил:

«Если на нашей числовой оси нет числа, которое бы отображало результат деления на ноль, его надо добавить. Обозначим его ∞ и назовём его “королевская бесконечность”, потому что всё могут короли, даже делить на ноль. Для этого ось действительных чисел надо изогнуть так, что за самым-самым большим числом будет идти ∞, и за самым-самым маленьким числом будет идти та же ∞. Налево пойдёшь, придёшь в ∞. Направо пойдёшь, придёшь в ∞.


Числовая ось из бесконечно длинной прямой замкнулась в окружность, которую мы назовём проективно расширенной числовой прямой. Она всё ещё содержит бесконечно много чисел: все вещественные числа, которые были на оси, плюс новое число ∞. А если бы мы оперировали комплексной плоскостью, то четыре прямые, уходящие из нуля соответственно в сторону 1, –1, i и –i, замкнулись бы в новой точке ∞ в сферу Римана. Какая красота.


Такой процесс ещё называется одноточечной компактификацией. И в этом случае мы можем смело утверждать, что 1/0 строго равно ∞».

– А чему тогда равно 2/0? – не менее строго спросил король.
– Тоже ∞.
– А если тоже ∞, то не получится ли, что 1/0 = ∞ и 2/0 = ∞; 1 = ∞ * 0 и 2 = ∞ * 0. Не придём ли мы к той же ереси, что 1=2?
– Нет, о король, – ответил хитрый астролог. – Разве из того, что 2² = 4 и (–2)² = 4, следует, что 2 = –2? И как мы не можем по четвёрке однозначно предсказать, какое число было возведено в квадрат, положительное или отрицательное, так и мы не можем по ∞ предсказать, какое число было разделено на ноль. Деление на ноль в нашей системе – особая функция, у которой нет обратной к ней операции.
– У нас было, что каждое число, умноженное на ноль, даёт ноль. Значит ли, что ∞ * 0 = 0?
– Э-э-э, не совсем, – ответил мудрец. – Выражение ∞ * 0 остаётся не определено, как и 0/0, ∞/∞, ∞ + ∞, ∞ – ∞ и…
– Хватит! – закричал рассерженный король. – Я вижу, что мы научились делить на ноль, но разучились на него умножать. Правы были математики древности, которые боялись бесконечности не меньше нуля и драконов. У вас вечно, если можно одно, то нельзя другое, а если всё можно, тогда 1 = 2, и любой крестьянин не хуже придворного мудреца.

С этими словами во дворец зашёл простой крестьянский парень, который нёс с собой огромное деревянное колесо.


Он рассказал, как чинил под городской стеной телегу и услышал, что король никак не может разделить на ноль. Тогда он решил подсобить своему монарху и в процессе починки телеги придумал новую алгебраическую структуру под названием «колесо». Для этого помимо элемента 1/0 = ∞, предложенного астрологом, добавлялся ещё один нижний (или народный) элемент ⊥ = 0/0, который служил осью для обода из проективно расширенной числовой прямой.


Парень объяснил, что отныне x – x ≠ 0, а x – x = 0x² и что x / x больше ≠ 1, а x / x = 1 + 0x / x. На словах «заменим бинарный оператор деления, обратный к умножению, на унарный оператор с одним аргументом» король попросил не выражаться. Он велел выдать крестьянину пару золотых за попытку и старания и отправил его чинить телегу дальше.
– Может быть крестьяне не хуже мудрецов, – заключил король, – но и не лучше. Мудрецы хотя бы понятнее объясняют. Мне надо упростить существующую математику, а не усложнить её. Если люди не могут решить мою загадку, то может быть помогут машины?

С этими словами король велел позвать королевского программиста, чтобы тот принёс в тронный зал главный королевский компьютер.


Когда программист и компьютер предстали перед королём и выслушали, что от них требуется, программист спросил компьютер на языке Java: «int x = 1; int y = 0; сколько будет x / y?» Самый большой компьютер подумал-подумал и вылетел, выдав ошибку деления на ноль.


И только король нахмурился, спросив, нет ли в королевстве другого компьютера поумнее, как программист вспомнил, что надо задать вопрос не в целых числах, а в так называемых числах с плавающей запятой, у которые свои инженерные стандарты. На этот раз компьютер напечатал, что 1/0 равняется +Infinity, то есть той же +∞, от которой король успел отказаться. А –1/0 или 1/–0.0 равняются –Infinity.


Тогда король задал компьютеру свой коронный вопрос, чему равно 0/0, и компьютер ответил, что получится NaN (Not-a-Number) или по-русски «нечисло».


– Что такое нечисло?
– Некий новый объект с частью математических свойств определённых, а частью неопределённых. Например, «нечисло» не равно никакому другому числу, включая самого себя NaN ≠ NaN.
– А сколько будет 0 * ∞?
– NaN .
– А сколько будет 1/0 – 1/0?
– NaN .

Последний ответ особенно возмутил короля. Как так: мы вычитаем одно и то же выражение из себя самого, а получаем «нечисло». Что-то здесь нечисто.
– Унесите компьютер, – приказал король. – Можно заставить машину делить на ноль, но что делать с полученным мусором?

– Компьютер не виноват: он выдаёт только то, чему его научили люди, – раздался спокойный женский голос.


Король обернулся и увидел, как девушка, стоявшая всё это время в тени, сняла капюшон и сказала:

«Меня зовут Изабель, я представитель Ордена формальных доказательств. Мы создаём доказательства математических теорем на языке, который компьютер может проверить на отсутствие логических и лингвистических ошибок, столь свойственных языку человеческому, на котором те же теоремы доказывались у вас в школе.

В чём главная загадка деления на ноль? Если деление обратно умножению, то процедура обратная делению на ноль есть умножение на ноль. Мы знаем, что все числа, будучи умноженные на ноль, дают ноль. Поэтому кажется, что только выражение 0/0 имеет смысл, но и оно представляет собой неопределённую форму (indetermined). Как показал мой коллега из Гильдии Математиков, эта форма в пределе может быть сведена к любому числу. Выражение 1/0 при этом полностью не определено (undefined). Что это означает? В той формальной системе, в которой мы работаем, нельзя найти его значение. Мои коллеги пытались перейти от реальных чисел к «нереальным», но при этом им приходилось жертвовать некоторыми свойствами реальных чисел. Если жертвовать всё равно придётся, не проще ли переопределить саму процедуру деления, не изобретая новых чисел?

Что есть деление? Умножение на элемент обратный делителю. Деление на 2 есть умножение на 1/2, не так ли? Поэтому деление на ноль есть умножение на элемент обратный нулю: N / 0 = N * 1/0. Нам осталось только определить, чему 1/0 равно. Для формальных доказательств теорем оказалось удобным принять, что 1/0 = 0, каким бы странным этот шаг ни казался. Признание нуля как отдельного числа тоже когда-то казалось странным. И тогда N / 0 = N * 1/0 = 0. Все числа, делённые на ноль, есть ноль. Зачем нам это? Ради упрощения некоторых утверждений, где в случае дробей проверка, что их знаменатель не равен нулю становится необязательна. Например, при умножении дробей (a / b) * (c / d) = ac / bd мы раньше должны были явно обговорить, что эта операция верна, только если b ≠ 0 и d ≠ 0. Но если N / 0 = 0, то пусть b или d будут нулём, выражение (a / b) * (c / d) = ac / bd само сведётся к 0 = 0 без ограничений на значения b и d».

– Но чему тогда равно 0 * 0? – встрял король. – Если 1 / 0 = 0 и 2 / 0 = 0, то не получится ли тогда…
– Не получится ли тогда у нас тривиальное кольцо R = {0}, 0 / 0 = 0, в котором все элементы равны друг другу, потому что элемент всего один и он равен нулю? – переспросила Изабель. – Не получится. После определения 1/0 = 0, 0 * 0 останется равным 0, а не 1 или 2. Мы потеряли обратимость деления в случае деления на ноль, но это не такая большая жертва по сравнению с выдумыванием новых чисел и сущностей. Тем более, что раньше мы делить на ноль вообще не могли.
– Тогда получается, что деля моё королевство на ноль, я останусь ни с чем?
– Получается.

Все замолчали, и король впал в печальную задумчивость. И тут королевский шут запел песенку:


Один король делил на ноль,
Никто не знал отгадки.
Любым числом ответь изволь,
Корону спрячь в остатке.

– Как это «корону в остатке»? – очнулся король. – Разве вы не знаете определения остатка от деления? – спросил шут. – «Делимое = частное * делитель + остаток». И вы не будете спорить, что:

1 = (любое число) * 0 + 1
1 = 0 + 1
1 = 1.

Значит, результатом деления 1/0 будет любое число, например, 42, а единица, с которой мы начинали, останется в остатке. Я всю жизнь так делю на ноль безо всяких колёс и переопределений.

***

Вот к такому выводу я пришёл, изучив доступные моему пониманию материалы о делении на ноль. Мой брат математик, который сам много работал над формальным доказательством теорем, принимает, что 1/0 = 0, а меня что-то смущает. Если бы строгий учитель или, что хуже, любопытный ученик спросил меня, чему равно 1/0, я бы всё равно ответил, что в арифметике эта операция не определена. Но если очень хочется её определить, то существует непустое множество математиков, которые определяют её как 1/0 = 0.

Если кольца существуют, а драконы нет, то каждый несуществующий дракон получит ноль колец. Но они не рассердятся, потому что как могут рассердиться те, кого не существует.


А вы что думаете? Научилось человечество к 21 веку делить на ноль? А если нет, то научится ли когда-нибудь?