Коварные карты и справедливые монеты

Я с детства обожаю занимательные задачи по математике. Вчера в приложении Brilliant мне попалась на первый взгляд элементарнейшая задачка:

Задача №1. В колоде 52 карты: 26 красных и 26 чёрных (никаких джокеров). После того как колода тщательно перетасована, какова вероятность того, что верхняя и нижняя карты окажутся одного цвета?

A) Меньше 50%. B) Ровно 50%. C) Больше 50%. D) Невозможно сказать, потому что здесь какой-то трюк.

Как говорится: выберите ответ, который вам больше всего нравится. Я выбрал, не задумываясь:


Трюк действительно был. Я рассказал брату о своём фиаско. После жирной подсказки, что я поторопился и ответил неправильно, он моментально решил эту задачу и заметил, что чтобы глубже осознать мою ошибку, надо решить задачу №2.

Задача №2. Мы подбрасываем 52 честные монеты. Какова вероятность того, что результаты подбрасывания первой и пятьдесят второй монеты совпадут (то есть либо обе выпадут «решкой», либо обе выпадут «орлом»)?

A) Меньше 50%. B) Ровно 50%. C) Больше 50%. D) Здесь точно какой-то трюк.

Интересно, в советское время, когда на монетах не было никаких орлов, продолжали говорить «орёл или решка»? В английском языке говорят heads or tails (головы или хвосты), у древних римлян было navia aut caput (корабль или голова), у нумизматов есть свои аверс и реверс, в которых я постоянно путаюсь. Мой брат заметил, что и «решка» – странное слово, которое используется только для обозначения стороны монеты. Вики пишет, что оно, вероятнее всего, произошло от императорского вензеля в виде решётки, но есть ещё версия, что решка = ряшка = ряха = лик Государя Императора. А под «честной монетой» (fair coin) в теории вероятности обозначают не то, что она не фальшивая, а то, что при её подбрасывании Ленин с вероятностями по 50% упадёт либо головой, либо хвостом кверху, но ни в коем случае не на ребро:


Различие между картами и монетами становится очевидным, если переформулировать задачи на две карты (1 красная, 1 чёрная) и на броски всего двух монет. Поэтому в блэкджеке можно считать карты, а при игре в рулетку верить, что после красного вероятнее выпадет чёрное, – ошибка игрока (gambler’s fallacy или «ложный вывод Монте-Карло»). Я как раз в феврале прочитал «Игрока» Достоевского, где герои не дружат с теорией вероятности:


Затем я задал обе задачи (на английском) ИИ-чатам. Разумеется, они легко их решили. Про первую задачу СhatGPT пошутил, что нет варианта ответа «0 или 1»: верхняя и нижняя карты или будут одного цвета, или не будут. А Gemini задал мне в ответ задачу в типичном для ИИ многословном стиле:

Задача №3. Профессор достает из кармана небольшой шелковый мешочек на шнурке. «Внутри этого мешочка, — объявляет он, — находятся ровно два шарика: один — белый, как облако, а другой — черный, как уголь».

Он приглашает на сцену добровольца. «Опустите руку внутрь, не глядя, и вытащите один шарик. Запомните его цвет, а затем положите обратно. Но вот в чем хитрость: прежде чем вы будете тянуть снова, я добавлю в мешочек третий шарик — точную копию того, который вы только что вытащили».

Доброволец вытаскивает белый шарик. Профессор кивает и опускает в мешочек второй белый шарик. Теперь внутри три шарика: два белых и один черный.

«Каждый раз, вытаскивая шарик, вы будете класть его обратно, а я добавлять к нашей коллекции новый шарик того же цвета, — говорит Профессор, и глаза его озорно поблескивают. — Мы будем повторять этот процесс до тех пор, пока в мешочке не окажется ровно 52 шарика. Какова вероятность, что шарик, вытащенный из этого переполненного мешочка, окажется белым?»

A) 1/2. B) 2/3. C) 51/52. D) Ещё ближе к 1, чем 51/52.

Так как первый вытащенный шарик был белый и в мешочке уже два белых и один чёрный, я был уверен, что вероятность вытащить белый будет только увеличиваться. К 52-му испытанию белых шариков в мешочке должно стать как грязи. Тем удивительнее мне было увидеть ответ, который ИИ посчитал правильным.

Чат рассказал, что эта модель называется «урна Пойи» (Pólya urn). Почему урна, а не мусорное ведро Пойи? «В своем труде “Искусство предположений” (Ars Conjectandi, 1713) Якоб Бернулли рассмотрел задачу определения пропорций камешков различных цветов, находящихся в урне, на основе анализа некоторого количества камешков, извлеченных из нее. Бернулли использовал латинское слово urna, которое в первую очередь означает глиняный сосуд, но в Древнем Риме также служило общим термином для обозначения любого сосуда, предназначенного для сбора избирательных бюллетеней или жребия»:


Имя математика было мне знакомо. Дьёрдь Пойа (1887–1985) – венгерско-швейцарско-американский математик и популяризатор математики. Ну, популяризатор для тех, кто уже в математике шарит. Нашёл такую байку из его воспоминаний: «В Цюрихе проходил семинар для студентов старших курсов, который вёл я, и среди слушателей был фон Нейман. Я подошел к одной задаче и заметил, что она не решена и может оказаться сложной. Фон Нейман ничего не сказал, но спустя пять минут поднял руку. Когда я предоставил ему слово, он вышел к доске и приступил к записи доказательства. С тех пор я побаивался фон Неймана»:


В попытке разобраться, кто глючит: Gemini или я, – я нашёл объяснение «на пальцах», как работает урна Пойи, по невероятному совпадению на примере колоды из 52 карт + джокер. И я увидел, что я не фон Нейман. Отдельные шаги я ещё понимал, но общая глубокая картина от меня ускользала.

Во время сегодняшнего хайка я пересказал ответ с Mathematics Stack Exchange другому близнецу. Мой брат, который тоже не фон Нейман, но PhD по математике когда-то получил, ответил, что в изначальной задаче произошла подмена понятий. ИИ задал вопрос не о вероятности, а о математическом ожидании распределения вероятностей. Из трёх шариков, какого бы они цвета ни были, нельзя вытянуть белый с вероятностью 1/2. И тут я всё понял. Изображение урны Пойи из какой-то статьи в Nature по биологии:


Как однажды заметил всё тот же Пойа: «Лучше решить одну задачу пятью разными способами, чем пять задач – одним». Хоть одно решение до меня дойдёт. Если хотите сравнить и обсудить решения трёх поставленных задач, с радостью пообщаюсь в комментариях. А закончу ещё одним анекдотом:

Харди некоторое время работал вместе с Пойа, и во время их совместной работы Пойа выдвинул некую оригинальную идею, которую Харди одобрил. Однако Пойа не спешил развивать свою идею, что не понравилось Харди, который прямо не выказал своё недовольство коллеге. Харди сделал это несколько позже, когда вместе с другим коллегой он посетил Стокгольмский зоопарк. Там они увидели медведя, сидящего в запертой клетке, а замок висел на дверце снаружи. Медведь подошёл к дверце, потрогал лапой замок, фыркнул, немного порычал и ушёл вглубь клетки. Харди саркастически заметил: «Как он похож на Пойа – у того тоже бывают великолепные идеи, но он никогда не доводит их до конца».

А как вы решаете задачи: как фон Нейман или как стокгольмский медведь? Я как медведь: потрогаю лапой, и если не решается, лезу в ответы.

Город-призрак возле Зайона и Леденцовые скалы Янт-Флэтс

1. Я давно читал, что к юго-востоку от парка Зайон находится город-призрак Графтон со старинным кладбищем, но только в этом феврале мы отважились туда поехать. Никого не встретили, даже привидений. Всё выглядит чистенько и отреставрировано:


2. Вот и верь после этого прозвищам. В другой день пошли мы с братом посмотреть на Candy Cliffs в местности, прозываемой Yant Flats. Я перевёл Кэнди-Клиффс как «Конфетные утёсы», а гугл как «Леденцовые скалы». На деле они оказались несъедобными горками пёстрой раскраски. Мой брат залез на одну для масштаба:


3. Если рассказывать по порядку, то 3 февраля мы приехали на место, куда после наводнения 1862 года был перенесён город Графтон. Первым делом прошлись по кладбищу. Надпись на могильном камне сообщает, что некий Роберт М. Берри был убит индейцами-навахо в 1866 году:


4. Сразу проникаешься духом вестернов, которые снимали в том числе в Графтоне. Лучший вид на кладбище открывается, если подняться на холмик. В красивом месте поселились мормонские фермеры:


5. Но суровый для сельского хозяйства климат и удалённость от цивилизации заставили графтонцев перебраться в соседние городки южной Юты. В 1945 году последний житель уехал в Сент-Джордж, и Графтон стал ghost town. В последние годы некоммерческая организация Grafton Heritage Partnership восстановила несколько зданий: на фото №1 вы видели церковь-школу (1886) и дом местного богача Алонсо Рассела (1862). В него можно зайти:


6. Табличка при въезде предупреждает, что Графтон закрыт после темноты. Мы не стали проверять почему и отправились на хайк по Coalpits Wash trail. Начало тропы расположено до въезда в Зайон, на неприметной незаасфальтированной парковке возле дороги SR-9. Мы думали, что эта часть Зайона непопулярна и скучна, но мы ошибались. Туристов там действительно нет, зато есть великолепные виды с необычного ракурса на такие горы как West Temple, Sundial, Altar of Sacrifice, которые обобщённо называют The Towers of the Virgin:


7. Мы неплохо знаем Зайон, поэтому удивились, что не можем идентифицировать пики слева. Оказалось, что это The Bishopric West и The Bishopric East, которые запиханы в такую глубь дикой части парка, что ниоткуда, где мы раньше ходили, мы и не могли их увидеть:


8. За 3 с лишнем часа мы прошли 9 миль, сделав петлю по Scoggins Wash, Chinle trail и вернувшись по ручью Coalpits:


9. Помимо гор мне понравились камни необычной формы. Я совсем не смыслю в геологии и не возьмусь объяснять, как они образовались:


10. Надо будет вернуться в эту часть парка в мае–июне, когда цветут кактусы и люпины. При желании там можно и с палаткой на ночь останавливаться. Призраков не обещают:


11. Следующая наша большая прогулка была 9 февраля. Мы пошли к Elephant Arch, которая выглядит как слон. Здесь никакого обмана:


12. Замечательно, что из нашего дома мы можем дойти до неё пешком. Минут 15 по асфальту, а дальше начинается песчаная пустыня, которую постепенно застраивают новыми домами:


13. Мы уже бывали у этой арки дважды. Путь туда-обратно в 7 миль занял 2,5 часа:


14. Для разнообразия мы спустились в каньон позади арки и таким образом сделали небольшую петлю, пока не вернулись на основную тропу. Вот такой у нас есть backyard hike:


15. 18 февраля выпал снег:


16. Вокруг дома он через несколько часов весь растаял, но окрестные горы побелели впервые за эту аномально тёплую зиму. Я загорелся идеей поехать смотреть на снег. В конце поста за январь я сравнивал снежный и бесснежный Зайон и пришёл к выводу, что со снегом красивее. Мне было важно застать снег на фоне красных гор, таких как, например, Yant Flats за первой грядой красных холмов к северу от нашего дома:


17. По прямой до них 5 миль (а от Слоновьей Арки всего 3), но ехать нужно 50 минут – 25 миль в объезд через местечко Leeds, а затем по грунтовке над пропастью. Посмотрел я в инстаграме, как люди купают машины в грязи, и расхотел смотреть на снег. На Янт-Флэтс мы поехали 3 марта, уже после того, как вернулись из Долины Смерти. Всё успело растаять и высохнуть. Вдоль дороги попадались, как современные сайбертраки:


18. Так и коровы, мирно пасущиеся как и сто лет во времена ковбоя Джорджа Янта:


19. Начальный участок тропы меж деревец можжевельника (juniper trees) не столь примечателен:


20. Красота начинается, когда выйдешь на открытый участок, покрытый окаменелыми дюнами:


21. Мы бесцельно гуляли там в 2022 году, когда мой брат ещё не пользовался активно приложением AllTrails. В этот раз у нас была чёткая цель пройти 5,5-мильный маршрут “Yant Flats to Candy Cliffs and Yellow Top”. Будем считать, что это те самые Леденцовые скалы (на которые полез мой брат на фото №2). Справа на горизонте виднеются вершины Зайона:


22. А «Жёлтым Верхом» я посчитал эти два бугорка в конце нашего пути:


23. Одно из самых красивых мест в часе езды от нашего дома. Мой iPhone вернее передаёт цвета. Pixel 10 моего брата добавляет поросячьи оттенки:


24. Зато у него есть оптический зум, и вóрона на сухой ветке он сфотографирует так, как я на 13-й айфон не смогу:


25. Он теперь может сфотографировать и уток на пруду: четыре справа – самцы американской морской чернети (Lesser scaup), а коричневая левее по центру – самка этой самой чернети:


26. И большую белую цаплю, поднявшуюся над канавой, по которой стекает вода с фермерских полей и в которой летом квакают лягушки:


27. И даже краснохвостого сарыча (Red-tailed hawk) из рода настоящих канюков семейства ястребиные в небесах:


28. Для серьёзного birdwatching нужна, конечно, оптика помощнее. Телефоном проще фоткать цветы. Они никуда не летят. У нас распустилась Oenothera longissima, которая по-английски называется Longstem evening primrose, а по-русски, если верить Википедии, «Осли́нник, или Эноте́ра, или Ночная свеча»:


29. Это мы 12 марта ходили Paradise Rim Trail из Royal Oaks Park. Как можете видеть, горы Pine Valley на заднем плане скинули снежные шапки, которые покрывали их на фото №16:


30. Мы давно уже ходим в рубашках с коротким рукавом. Сегодня, в пятницу 20 марта, обещают до 97 ºF (36 ºC) в тени, на 18 градусов Цельсия выше нормы. Летом это был бы «прохладный день», но для марта температурный рекорд Сент-Джорджа за все времена составлял 33 ºC. В этом году он побит:

Индийский блин-доса и корейская рыба-мороженое

1. В феврале произошло знаменательное событие: в Сент-Джордже открылся новый индийский ресторан. Мы наконец-то попробовали досы, о которых мечтал мой брат. Меню определяет досу как «тонкий хрустящий несладкий блинчик из теста из ферментированного риса и чечевицы; подается с кокосовым чатни, томатным чатни и острым самбаром»:


2. А в Costco появились культовые корейские сэндвичи с мороженым Samanco в форме рыбы. Оказались ли они лучше японского блинного торта, который нам не очень-то понравился? Для рассказа в блоге корзина с продуктами из Костко столь же неисчерпаема как путешествия в Зайон:


3. О Зайоне и Elephant Arch, которые мы посетили в феврале, будет в следующий раз. После похода к Слоновьей Арке мы поехали дегустировать только что открывшийся Mint Indian Bistro. В этой сети уже было три ресторана в Лас-Вегасе, и к нашей радости они решили расшириться в Юту: больше индийской еды, вкусной и разной. В первое наше посещение мы не стали мудрить и взяли традиционный для нас набор: Butter Chicken ($18.99; «тёмное куриное мясо медленно добавляют и тушат в сливочно-томатном соусе, идеально смешанном с индийскими специями»), Andhra Curry ($20.99; «острое карри из баранины без костей, приправленное кокосом и множеством особых специй из штатов Андхра-Прадеш и Телангана») и Butter Garlic Naan ($3.99; «тёплый, мягкий, пышный хлеб, с любовью испеченный в специальной глиняной печи, смазанный маслом и посыпанный чесноком»). Бесплатно прилагалась небольшая плошка риса:


4. С налогом и чаевыми вышло $48.16 – базовая цена нашего нынешнего обеда в ресторане. Не самая восхитительная индийская еда, но меню у них велико и обширно, есть, что изучать, и дома мы сами так не приготовим. Когда мы прониклись индийскими ресторанами, начали порой делать своё карри:


5. Оно выходит в меру вкусное, но на ресторанное совсем не похоже. Если бы мы не добавляли карри-смесь Rani из большой банки с Амазона, то получилась бы курица, тушёная с овощами в томатной пасте и кокосовом молоке:


6. Я смотрел на ютубе, как готовят в настоящих индийских ресторанах. Если бы я играл в повара-индуса, то заплевал бы жиром всю кухню. Для готовки карри мы покупали мультиварку, но, как и предсказывали, она у нас превратилась в рисоварку, а карри мы готовим в Dutch Oven, доставшимся нам вместе с домом от прежних его хозяев:


7. На русский язык Википедия переводит Dutch Oven как казан или чугунок. Для карри нам была нужна глубокая сковородка с плотно закрывающейся крышкой. Почти готово:


8. Когда не хочется платить $50 в ресторане, получается такой домашний ужин ценой $4. Еды меньше, но нам хватает. Кружка ещё со времён, когда я состоял в Американском Химическом обществе:


9. Вскоре мы заехали в Mint Bistro во второй раз. В нём появились посетители, кроме нас, но они не рисковали идти дальше Chicken Tikka Masala. А мы специально заказали то, что никогда не пробовали раньше. Из аппетайзеров выбрали Vada Pav ($10.99; «оладьи из нутовой муки со специями, начинённые картофелем и приправленные острым и сладким чатни, подаются в булочке (пав), смазанной маслом». Википедия их ещё называет бомбейскими бургерами: мол, в одном только Мумбае 20 тысяч уличных киосков, которые продают Вада Пав:


10. Сверху положили жареные зелёные перцы-чили, которые я ем с опаской, но в данном случае они были совершенно безвредными по сравнению с самими вада. Мы долго отпаивались водой, стараясь приглушить жжение нёба и горла, но мужественно сказали поинтересовавшемуся официанту, что острота в самый раз. Не быть нам на “Wall of Flame”, куда помещают тех, кто прошёл их Mint’s Inferno Challenge. А затем нам принесли досы с фото №1. Я перефотографировал их меню, чтобы разместить его на Google Maps:


11. Досы нас не впечатлили. У меня была ещё получше, с сыром ($16.99). А мой брат взял Ghee Podi Dosa ($15.99), не поискав в интернете, что такое поди (порошок из смеси специй: сушеного перца чили, чечевицы, нута и семян кунжута). Что такое гхи, он знал (разновидность топлёного масла). Поданные с досой чатни (индийские соусы) тоже были так себе. Один напоминал кабачковую икру, другой – овощной суп, третий вообще ничего не напоминал. Если бы это был наш самый первый в жизни визит в индийский ресторан, мы бы заключили, что индийская еда не для нас. В следующий раз в Mint Bistro возьмём привычные карри:


12. У досы был кисловато-противный привкус, который мне не понравился в японском торте. Я люблю сладкие пшеничные блины. Без оглядки на Масленицу мы готовили их в феврале и ели в том числе с Honey Smoked Salmon («копчёным в меду лососем»):


13. Его можно видеть в корзине из Костко на фото №2. Мы купили кусочек 0,68 фунта (308 г) за $11.35 ($16.69 за фунт). У них есть другой копчёный лосось за те же $1/унцию, который с блинами нам нравится больше.


14. Впечатлившись французскими сырами в Париже, мой брат захотел купить набор французских сыров в Костко. В других магазинах такие продаются по $6–8 за штучку, а тут четыре (каждый 4 унции или 113 г) за $13.99, то есть по $3.50 за кружочек ($3.10 за 100 г):


15. Но радость брата была недолгой. Надо было смотреть не на большие буквы “FRENCH”, а на маленькие “California Original”: эти «французские» сыры варят в Калифорнии. Они оказались подогнанными под американский вкус, совершенно не злые:


16. Только тот, что якобы с трюфелями, имел хоть какой-то заметный вкус. Мой брат был разочарован, и в следующий раз в Костко мы купили French Brie с нашлёпкой в виде карты-флага Франции:


17. Несмотря на плашку “Kirkland Signature” (собственный бренд Костко), он оказался сыром из настоящей Нормандии. У него уже был выраженный плесневелый вкус, который ожидаешь от бри. И стоил он всего $10.99 за 600 г ($1.83 за 100 г)! Если бы не ужасные тарифы, глядишь, сыр в Костко был бы вообще бесплатным:


18. Он очень хорошо пошёл с Cranberry Walnut Bread ($7.99 за 2 фунта или 907 г; хлеб с грецкими орехами и клюквой) из того же Костко:


19. А с рассольником этот сладкий хлеб сочетается плохо. С ним лучше идёт погретый в тостере Great Grains Bakery Multigrain, который в Костко стоит $2.25 за буханку, если брать две (см. фото №2). В США огромный выбор невкусного хлеба. Мы знаем, какой нам подходит, но продолжаем экспериментировать. Чёрный перец из Вьетнама ($6.99 за 360 г) тоже был на том фото – с супом он тратится моментально:


20. Я обратил внимание, что французский бри был того же фермерского кооператива Isigny Sainte-Mère, чей сыр с трюфелями (судя по цене, настоящими, а не синтетическими) Petit Coeur D’Isigny aux Truffes мы покупали в Париже – €13.45 за 150 г ($10.30 за 100 г), значительно дороже других сыров в Carrefour:


21. Вряд ли я соберусь писать отдельно о сырах, ромовых бабах и прочих пирожных, которые мы ели в Париже, поэтому пусть это грибное чудо будет здесь. Сам сыр напоминал тот, что мы купили в 6 раз дешевле в Костко, а напротив трюфелей я поставил галочку и переплачивать за них больше не рвусь:


22. Так вышло, что в Масленичную неделю мы пекли пирог с капустой и луком:


23. Работать скалкой мне брат не доверяет:


24. И ответственно тыкать вилкой после того, как загружена начинка, тоже:


25. Я уже писал в жж про то, как мы печём пироги. Пусть будет на бис: 40 минут при 400 ºF и готово:


26. Теперь задача его съесть :) Успех пирога во многом зависит от капусты:


27. Рецепт нам давала наша тётя, которая часто пекла пироги, когда мы были маленькими, но в США он претерпел у нас несколько перестановок. От дрожжей мы отказались, а вместо коровьего молока добавляем кружку миндального (Silk Almond; $10.99 за три пачки по 64 fl oz, 2 кварты, полгаллона или 1,89 литра каждая), которое можно видеть на том же фото №2. Тесто для блинов мы вообще разводим на воде. Молоко потребляется в первую очередь на завтрак с хлопьями. В Smith’s была распродажа Great Grains Cereal, которые мы любим, по $2.99 за пачку (весом 14–16 унций или 397–453 г в зависимости от вкуса; 19–21 цента за унцию):


28. А на фото №16 мы затарились двумя пачками Honey Bunches of Oats with Almonds по 50 унций (1,41 кг) каждая ценой со скидкой $7.99 – $2.30 = $5.69 (11 центов за унцию). Не удивлюсь, что когда я их покупал 20 лет назад в Уолмарте в Боулинг Грине, они были дороже. Вкус остался тот же. Наша коллекция хлопьев в пентри приобретает мормонский вид (мормонам положено хранить запас еды на год на случай Страшного Суда). Одна пачка Great Grains у нас уходит за два дня:


29. Осталось рассказать про корейское мороженое-сэндвич-рыбу, если вы о нём ещё не забыли. 12 рыб по 150 мл стоили $13.99 – $3.50 = $10.49. Почему-то мороженое в США принято измерять единицами объёма, а не массы. Рыб было по четыре трёх сортов: с клубникой, шоколадом и анко (уваренными с сахаром или мёдом бобами фасоли угловатой). Вкус рыбообразной части оказался точь-в-точь как у вафельного стаканчика дешёвого российского мороженого:


30. Я даже перепроверил, что они импортированы из Южной Кореи (Republic of Korea), а не из КНДР. (Изначально корейцы вдохновлялись тайяки – японским печеньем в виде рыб с начинкой). Само мороженое тоже очень средненькое. В Корее эти рыбы считаются летним фастфудом. Так вышло, что когда мы их купили, на DoorDash была скидка на смузи из Tropical Smoothie Cafe (Bahama Mama - клубника, ананас, кокос и белый шоколад), и жаркой сент-джорджской зимой мы попивали смузи со льдом, прикусывая корейским рыбомороженосэдвичем: